Математическая энциклопедия - симплициальное множество

(прежние названия полусимплициальный комплекс, полный полусимплициальный комплекс) симплициальный объект категории множеств Ens, т. е. система множеств (n-х слоев) , связанных отображениями , (операторами граней), и si: К п Kn+1, (операторами вырождения), удовлетворяющих соотношениям

Точки слоя К п наз. n-мерными симплексами С. м. К. Если заданы только операторы di, удовлетворяющие соотношениям didj=dj-1di, i<j, то система {К п,dn} наз. полусимплициальным множеством.

Симплициальным отображением f: К К' С. м. Кв С. м. К' наз. морфизм функторов, т. е. последовательность отображений , , удовлетворяющих соотношениям,

С. м. и их симплициальные отображения образуют категорию . Если все отображения fn являются вложениями, то С. м. Кназ. симплициальным подмножеством С. м. К'. При этом операторы граней и вырождения в С. м. Кпредставляют собой ограничения соответствующих операторов в С. м. K'.

Для любого топологич. пространства Xопределено С. м. S(X), наз. сингулярным С. м. пространства X, симплексами к-рого являются сингулярные симплексы пространства X(см. Сингулярные гомологии), т. е. непрерывные отображения , где Dⁿ n-мерный геометрический стандартный симплекс

Операторы граней di и вырождения si этого С. м. определяются формулами

Соответствие является функтором (наз. сингулярным функтором) из категории топологич. пространств Тор в категорию С. м. D⁰Ens. Произвольная симплициальная схема К определяет С. м. О(К), симплексами размерности пк-рого являются (n+1) членные последовательности (x0, . . ., х n).вершин схемы К, обладающие тем свойством, что в Ксуществует такой симплекс s, что для любого i=0, 1, . . ., п. Операторы граней di и вырождения si этого С. м. определяются формулами

где знак