Математическая энциклопедия - симплектическое пространство однородное

симплектическое многообразие (М, w) вместе с транзитивной группой Ли G его автоморфизмов. Элементы алгебры Ли группы G можно рассматривать как симплектические векторные поля на М, т. е. поля X, сохраняющие симплектическую 2-форму w:

где точкой обозначена производная Ли, iX - оператор внутреннего умножения на X, d - внешний дифференциал. С. п. о. наз. строго симплектическим, если все поля гамильтоновы, то есть iXw=dHX, где HX функция на М(гамильтониан поля X), причем гамильтониан HX можно выбрать так, чтобы отображение было гомоморфизмом алгебры Ли в алгебру Ли функций на Мотносительно скобки Пуассона. Примером строго С. п. о. является орбита группы Ли G относительно коприсоединенного представления Ad*G группы G в пространстве линейных форм на , проходящая через произвольную точку . Инвариантная симплектическая 2-форма w на М a задается формулой

где Xb, Yb значения векторных полей в точке . Поле имеет гамильтониан Н X(b).b(Х).

Для произвольного строго С. п. о. ( М,w, G) определено G-эквивариантное отображение момента

к-рое отображает Мна орбиту m(М).группы G в и является локальным изоморфизмом симплектич. многообразий. Таким образом, любое строго С. п. о. группы G является накрытием над орбитой группы G в коприсоединенном представлении.

Односвязные С. п. о. с односвязной, но не обязательно эффективно действующей группой автоморфизмов G находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами естественного действия группы G в пространстве замкнутых 2-форм на ее алгебре Ли . Соответствие определяется следующим образом: ядро любой 2-формы является подалгеброй алгебры Ли . Соответствующая связная подгруппа К ^s. группы Ли G замкнута и определяет одно-связное однородное пространство М ^s.= G/К^s. Форма а задает невырожденную 2-форму в касательном пространстве точки о=еК^s. многообразия М ^s, к-рая продолжается до G-инвариантной симплектич. формы w^s на М ^s. Таким образом, форме а отвечает односвязное С. п. о. (М ^s, w^s). Если не содержит идеалов алгебры Ли , то действие G на М ^s локально эффективно. С. п. о. М ^s. и М ^s' изоморфны тогда и только тогда, когда формы s, s' принадлежат одной орбите группы G в . Для точной 2-формы s=da. С. п. о. М ^s. отождествляется с универсальной накрывающей С. п. о. М a, являющегося орбитой точки a в коприсоединенном представлении. Если , то орбита Gs любой точки канонически снабжается структурой С. п. о. и любое С. п. о. односвязной группы G изоморфно накрытию над одной из таких орбит. В частности, М ^s. есть универсальная накрывающая орбиты Gs.

Пусть (М, w) компактное С. п. о. односвязной связной группы G, действующей локально эффективно. Тогда G есть прямое произведение полупростой компактной группы Sи разрешимой группы R, разлагающейся в полупрямое произведение абелевой подгруппы и абелева нормального делителя, а С. п. о. (М, w) разлагается в прямое произведение С. п. о. с группами автоморфизмов Sи R соответственно.

Частным случаем С. п. о. является симплектическое групповое пространство группа Ли вместе с левоинвариантной симплектич. формой w. Известно, что из редуктивности группы Ли, допускающей левоинвариантную симметрич. форму, следует ее коммутативность, а из унимодулярности разрешимость. Все такие группы размерности разрешимы, но начиная с размерности 6 существуют неразрешимые симплек-тические групповые пространства [3].

Лит.:[1] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; [2] Гийемин В., Стернберг С., Геометрические асимптотики, пер. с англ., М., 1981; [3] С h u B.-Y., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1974, v. 197, p.. 145-59; [4] Zwаrt P h. В., Вооthbу W. М., "Ann. inst. Fourier", 1980, t. 30, № 1, p. 129-57. Д. В. Алексеевский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985