Математическая энциклопедия - спинорная структура

на т-мерном многообразии М, расслоение спин-реперов, главное расслоение над Мсо структурной группой Spin (n)(см. Спинорная группа). накрывающее нек-рое главное расслоение кореперов со структурной группой SO (n). Последнее условие означает, что задан тождественный по базе сюръективныи гомоморфизм главных расслоении согласованный с естественным гомоморфизмом Говорят, что С. с. подчинена рцмановой метрике g на М, определяемой расслоением С точки зрения теории G-структур С. с. есть обобщенная G-структура со структурной группой G=Spin(n), рассматриваемой вместе с неточным представлением

Аналогичным образом определяются С. с., подчиненная псевдоримановой метрике, и С. с. на комплексном многообразии, подчиненная комплексной метрике. Необходимые н достаточные условия существования С. с. на Мсостоят в ориентируемости многообразия Ми обращении в нуль класса Штифеля Уитни W2(M). При выполнении этих условий число неизоморфных С. с. на M, подчиненных данной римановой метрике, совпадает с порядком группы (см. [6]). Пусть С - комплексификация Клиффорда алгебры пространства относительно квадратичной формы Алгебра Собладает неприводимым представлением в пространстве . над размерности к-рое определяет представление группы Spin в пространстве S. Всякая С. с. на Мзадает ассоциированное векторное расслоение со слоем S, называемое расслоением спиноров. Риманова связность на Мопределяет каноничегким образом связность в расслоении В пространстве Г (S)гладких сечений расслоения (спинорных полей) действует линейный дифференциальный оператор Dпорядка 1 оператор Дирака, к-рый локально определяется формулой

где ковариантные производные по направлениям ортонормированных векторных полей si, а умножение элементов из Sна векторы из соответствует определенной выше структуре С-модуля на S.

Спинорные поля, аннулируемые оператором D, иногда наз. гармоническими. Если Мкомпактно, то причем эта размерность не меняется при конформной деформации метрики [4]. Если при этом риманова метрика на Мимеет положительную скалярную кривизну, то kerD = 0 (см. [4], [5]).

С. с. в пространстве-времени ( М, g) (т. е. в четырехмерном лоренцевом многообразии) наз. С. с., подчиненная лоренцевой метрике g. Существование С. с. в некомпактном пространстве-времени . эквивалентно абсолютной параллелизуемости многообразия М(см. [3]).Пространство спиноров Sкак модуль над спинорной группой Spin разлагается в прямую сумму двух комплексных двумерных комплексно-сопряженных SL (2, G)-модулой и Этому разложению соответствует разложение расслоения спиноров, причем тензорное произведение отождествляется с комплексификацией касательного расслоения ТМ. Спинорные поля в пространстве-времени, являющиеся собственными функциями оператора Дирака, описывают свободные поля частиц со спином ¹/2 напр. электронов.

Лит.:[1] Казанова Г., Векторная алгебра, пер. с франц., М., 1979; [2] Пенроуз Р., Структура пространства-времени, пер. с англ., М., 1972; [3] Gerосh R., лJ. Math. Phys.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985