Математическая энциклопедия - стеклова проблемы

в теории ортогональных многочленов задачи, в которых асимптотич. свойства ортогональных многочленов рассматриваются в зависимости от свойств и, в частности, от особенностей весовой функции и контура ортогональности.

При изучении многочленов { Р п (х)},ортонормированных на сегменте [-1, 1] с весом

возникает вопрос об условиях ограниченности последовательности { Р п (х)}в отдельной точке либо на нек-ром множестве либо на всем сегменте ортогональности. Этот вопрос важен потому, что при ограниченности последовательности { Р п (х)}на ряды Фурье по ортогональным многочленам переносятся нек-рые свойства тригонометрич. рядов Фурье.

В. А. Стеклов [1] высказал предположение, что для выполнения неравенства

необходимо н достаточно выполнение условия

Значение функции h0(t)в точке x, где рассматриваются неравенства (2) п (3), должно быть связано со значениями этой функции в точках, близких к x, и задача заключается в том, чтобы вывести (2) из (3) при минимальных ограничениях на функцию h0(t)в окрестности точки x (первая задача Стеклова). Имеются (см. [2], [5]) различные локальные и глобальные условия, при к-рых из (3) следует (2). В частности, если в (1) функция h0(x)положительна, непрерывна и удовлетворяет нек-рым дополнительным условиям, то для многочленов { Р п (х)}имеет место асимптотич. формула, из к-рой следует неравенство (2) при A = [-1, 1]. Кроме того, Стеклов [1] рассмотрел случаи алгебраич. нулей весовой функции и установил ряд результатов, послуживших началом двух направлений исследований. Одно из них характеризуется т. н. глобальными, или равномерными, оценками роста ортонорми-рованных многочленов, к-рые получаются при довольно общих условиях на весовую функцию (вторая задача Стеклова). Напр. (см. [2], с. 177), если неравенство (3) выполняется на всем сегменте [-1, 1], то существует такая последовательность что имеет место неравенство

Третья задача Стеклова состоит в исследовании асимптотич. свойств ортогональных многочленов при гладких особенностях весовой функции. К этому направлению можно отнести асимптотич. свойства Якоби многочленов, весовая функция к-рых имеет особенности на концах сегмента ортогональности, с чем связано различие асимптотич. свойств многочленов Якоби внутри интервала (-1, 1) и на его концах. Отличие результатов последнего направления от глобальных оценок ортогональных многочленов состоит в том, что в этом случае весовая функция может обращаться в отдельных точках в нуль или бесконечность определенного порядка и удовлетворяет нек-рым условиям гладкости. При этом асимптотич. формулы и оценки для ортогональных многочленов устанавливаются отдельно в особых точках весовой функции (нули, полюса, концы сегмента ортогональности) и на остальной части сегмента ортогональности.

Формулировки и особенно доказательства по всем вышеперечисленным вопросам наиболее естественны в случае многочленов, ортогональных на окружности, ибо в этом случае можно применять многие результаты о приближении периодич. функций тригонометрич. полиномами.

Лит.:[1] Стеклов В. А., лИзв. Российской Акад. наук

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985