Математическая энциклопедия - степенной ряд

1)С. р. по одному комплексному переменному z функциональный ряд вида

где a центр ряда, bk - его коэффициенты, bk(z-a)^k члены ряда. Существует число r, называемое радиусом сходимости С. р. (1) и определяемое по формуле Коши Адамара

такое, что при |z-а|<r ряд (1) абсолютно сходится, а при |z- а|>r расходится (теорема Коши Адамара). В связи с этим круг на плоскости комплексного переменного z наз. кругом сходимости С. р. (см. рис. 1). В случае r=0 круг сходимости вырождается в единственную точку z=a, напр. для С. р. (этот случай интереса не представляет, и всюду в дальнейшем предполагается, что r>0). В случае круг сходимости совпадает со всей плоскостью напр. для С. р. Множество сходимости, т. е. совокупность всех точек сходимости С. р. (1), в случае кроме точек круга сходимости D, может включать все или нек-рые точки, или ни одной точки окружности сходимости Круг сходимости в этом случае есть внутренность множества точек абсолютной сходимости С. р.

Внутри круга D, т. е. на любом компакте С. р. (1) сходится абсолютно и равномерно. Таким образом, сумма ряда s(z) определена и является регулярной аналитич. цией по крайней мере в круге D. При этом на окружности Sона имеет по меньшей мере одну особую точку, аналитич. родолжение в к-рую суммы s(z) невозможно. Существуют С. р., имеющие на Sв точности одну особую точку, равно как н С. р., у к-рых вся окружность Sсостоит из особых точек.

В случае ряд (1) либо обрывается, т. е. представляет собой многочлен

либо его сумма s(z) есть целая трансцендентная функция, регулярная во всей плоскости и имеющая в бесконечности существенно особую точку.

Обратно, само понятие аналитичности функции f(z) в точке асостоит в том, что f(z) в нек-рой окрестности аразлагается в С. р.

к-рый является для f(z) рядом Тейлора, т. е. его коэффициенты определяются формулами

В связи с этим важно свойство единственности С. р.: если сумма s(z)ряда (1) обращается в нуль на бесконечном множестве имеющем предельную точку внутри D, то и все bk=-0, k=0, 1, ... В частности, если s(z)=0 в окрестности нек-рой точки то и все bk=0. Таким образом, всякий С. р. есть ряд Тейлора для своей суммы. Пусть наряду с С. р. (1) имеется другой С. р.

с тем же центром аи радиусом сходимости r1>0. Тогда по крайней мере в круге где имеют смысл сложение, вычитание и умножение С. р. (1) и (3) по формулам:

Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности справедливы, причем вычитание есть действие, обратное сложению. Таким образом, множество С. р. с положительными радиусами сходимости и фиксированным центром есть кольцо над полем С. Если то возможно и деление С. р.:

причем коэффициенты dk однозначно определяются из бесконечной системы уравнений

При r>0 и r1>0 радиус сходимости ряда (5) также положительный.

Пусть для простоты в (1) и (3) Тогда сложная функция будет регулярной в окрестности начала координат, и процедура разложения ее в С. р. носит название подстановки ряда в ряд:

Коэффициент gm в(6) получается как сумма одноименных коэффициентов в разложениях каждой из функций а эти последние разложения получаются путем n-кратного умножения ряда для самого на себя. Ряд (6) заведомо сходится при где таково, что Пусть опять и, кроме того, Задача построения ряда для обратной функции к-рая при указанных условиях регулярна в окрестности начала, наз. обращением ряда (3). Ее решением является ряд Лагранжа:

(о более общей задаче обращения см. в ст. БюрманаЛагранжа ряд).

Если С. р. (1) сходится в нек-рой точке то он абсолютно сходится для всех z таких, что |z-а|< |z0 -а| ,в этом состоит первая теорема Абеля. Эта теорема также позволяет установить вид области сходимости С. р. Более тонкий результат представляет собой вторая теорема Aбeля: если С. р. (1) сходится в точке на окружности сходимости S, то

т. е. сумма ряда s(z) в точке имеет радиальное граничное значение s(z0 )и, следовательно, непрерывна вдоль радиуса более того, s(z)имеет и угловое граничное значение s(z0). Эту теорему (1827) можно считать первым крупным результатом в направлении исследования граничных свойств С. р. Обращение второй теоремы Абеля без дополнительных ограничений на коэффициенты С. р. невозможно. Однако, если предположить, напр., что bk=0(1/k )и существует предел то ряд сходится к сумме s0. Такого рода частичные обращения второй теоремы Абеля получили название тауберовых теорем.

Другие результаты о граничных свойствах С. р. и, в частности, о расположении особых точек С. р. см. в статьях Адамара теорема, Аналитическое продолжение, Граничные свойства аналитических функций, Фату теорема (см. также [3] [5]).

2) С. р. по многим комплексным переменным z=(z1, . . .. zn), n>1, или кратный С. р.функциональный ряд вида

где

центр ряда, точка комплексного пространства Областью сходимости DС. р. (7) наз. внутренность множества точек абсолютной сходимости, но при п>1 она не имеет столь простого вида, как при n=1. Область Dпространства тогда и только тогда является областью сходимости нек-рого С. р. (7), когда D - логарифмически выпуклая полная кратно круговая область пространства Если нек-рая точка то замыкание поликруга

где r=(r1, . . ., rn), также принадлежит Dи ряд (7) сходится в абсолютно и равномерно (аналог первой теоремы Абеля). Поликруг U(a, r), r=(r1, . . ., rn), наз. поликругом сходимости С. р. (7), если но в любом несколько большем поликруге где и по крайней мере одно неравенство строгое, имеются точки, в к-рых ряд (7) расходится. Радиусы поликруга сходимости наз. сопряженными радиусами сходимости С. р. (7), они удовлетворяют соотношению, являющемуся аналогом формулы Коши Адамара:

где

Область сходимости Dисчерпывается поликругами сходимости. Напр., для ряда поликруги сходимости имеют вид

а область сходимости (на рис. 2 она изображена на абсолютной четверть-плоскости).

Свойство единственности С. р. сохраняется в том смысле, что если s(z) = 0 в нек-рой окрестности точки z⁰ в (достаточно даже в т. е. на множестве то и все bk=0.

Действия с кратными С. р. производятся в основном по тем же правилам, что и в случае n=1. Другие свойства кратных С. р. см., напр., [8], [9].

3) С. р. по действительным переменным х= (x1, . . ., xn), функциональный ряд вида

где использованы сокращенные обозначения, как и в (7), центр ряда. Если ряд (8) абсолютно сходится в нек-ром параллелепипеде то он абсолютно сходится и в поликруге r=(r1,. . ., rn). При этом сумма ряда s(x), будучи аналитич. цией действительных переменных x= (x1, . . ., х п )в П, аналитически продолжается в виде С. р.

до аналитич. ции s(z) комплексных переменных z=x+iy=(z1=x1+iyl, . . ., zn=-xn+iyn )в U( а, r). Если Dобласть сходимости С. р. (9) в пространстве комплексных переменных z=x+iy, то сужение области Dна пространство действительных переменных x=(x1,. . ., х п) является областью сходимости С. р. (8), В частности, при n=1 область Dявляется кругом сходимости, а его сужением является интервал сходи мости на числовой оси где r радиус сходимости.

Лит.:[1] Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [3] Титчмарш Е., Теория функций, пер. е англ., М.-Л., 1951; [4] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967: [5] Landau E., Darstellung und Begrundung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, 2 Aufl., В., 1929; [6] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1984; [7] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976; [8] Бохнер С., Мартин У. Т., Функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1951; [9] Янушаускас А. И., Двойные ряды, Новосиб., 1980.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985