Математическая энциклопедия - трикоми задача

задача отыскания решения уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с двумя независимыми переменными и с одной гладкой разомкнутой линией параболического вырождения АВ, принимающего заданные значения на эллиптической части границы области задания уравнения и на одной из двух характеристик АС или ВС, образующих гиперболическую часть границы (см. Смешанного типа уравнение). Т. з. для Трикоми уравнения

в области ограниченной гладкой кривой с концами в точках А(0, 0), В(1,0) и характеристиками АС и ВС:

впервые была поставлена и изучена Ф. Трикоми (F. Tricomi, [1], [2]).

При определенных ограничениях на гладкость заданных функций и характер поведения производной uy искомого решения ив точках Аи ВТ. з.:

Для уравнения (1) редуцируется к отысканию регулярного в области решения и=и( х, у )уравнения (1), удовлетворяющего краевым условиям

где однозначно определяется через оператор дробного (в смысле Римана Лиувилля) дифференцирования порядка ²/3:

Г (z) гамма-функция Эйлера.

Решение задачи (1), (3) в свою очередь сводится к нахождению функции v(х)=и у(x,0) из нек-рого сингулярного интегрального уравнения. Это уравнение в случае, когда совпадает с нормальным контуром

имеет вид

где f(x) явно выражается через и а интеграл понимается в смысле глазного значения по Коши (см. [1] [4]).

При доказательство единственности и существования решения Т. з. наряду с принципом экстремума Бицадзе (см. Смешанного типа уравнение )и методом интегральных уравнений широко используется так наз. метод а b с, сущность к-рого заключается в том, что для данного дифференциального оператора 2-го порядка L(напр., Т) с областью определения D(L)строится дифференциальный оператор 1-го порядка

обладающий тем свойством, что

где C=const>0; -нек-рая норма (см. [5]).

Т. з. получила обобщения как на случай уравнений смешанного типа с несколькими линиями параболиче

ского вырождения (см. [6]) так и на случай уравнений смешанного гиперболо-параболического типа (см. [7]).

Лит.:[1] Трикоми Ф., О лилейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа, пер. с итал., М.Л., 1947; [2] его жe, Лекции по уравнениям в частных производных, пер. с итал., М., 1957; [3] Бицадзе А. В., К проблеме уравнений смешанного типа, М., 1953: [4] его же, Уравнения смешанного типа, М., 1959; [5] Берс Л., Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, пер. с англ., М., 1961; [6] Нахушев А. М., лДокл. АН СССР

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985