Математическая энциклопедия - тривектор

упорядоченная совокупность [ и, v, w]трех векторов и, v, w аффинного пространства А, отложенных от общего начала. Т. полагается равным нулю, если определяющие его векторы компланарны (линейно зависимы). Ненулевой Т. определяет несущую его 3-мерную плоскость. Если пространство Аимеет конечную размерность п, ив нек-ром базисе е= (е 1, е 2, . . ., е п )векторы

то величины

наз. координатами Т. [ и, v, w]в базисе е. Эти координаты кососимметричны по любой паре своих индексов, при замене базиса в Аизменяются, как координаты трижды контравариантного тензора. Среди этих координат существенных. Два Т. наз. равными, если в каком-либо базисе Аравны их координаты. Класс равных Т. наз. свободным Т.

При наличии в Аскалярного произведения на Т. распространяется ряд метрич. понятий векторной алгебры. Мерой Т. [u,v,w]наз. трехмерный объем параллелепипеда множества концов векторов вида h=xu+yv+zw, где отложенных от общего начала. В случае когда dim A=3, мера Т. равна модулю смешанного произведения векторов и, v, w. Скалярным произведением двух Т. наз. число, равное произведению мер сомножителей на косинус угла между несущими их плоскостями. Скалярное произведение является билинейной формой от координат сомножителей. Если dim А=4, то Т. [ и, v, w] может быть отождествлен с вектором пространства А, наз. векторным произведением векторов и, v, w.

Т. в тензорном исчислении есть любой контравариантный кососимметрич. тензор валентности 3 (т. е. тензор типа (3, 0)). Каждый такой тензор может быть представлен в виде суммы нескольких тензоров, к-рым соответствуют Т. с различными несущими их плоскостями.

См. также Бивектор, Внешнее произведение, Поливектор, Плюккеровы координаты.

Л. П. Купцов

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985