Математическая энциклопедия - тригонометрические функции

класс элементарных функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно: sin x,cos x, tg x,ctg x, sec x,cosec x.

Тригонометрические функции действительного аргумента. Пусть А - точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице, угол между осью абсцисс и вектором ОА, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс (рис. 1). При этом если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке отрицательной, т. е. полярный угол точки А.

Если прямоугольные декартовы координаты точки А, то Т. ф. синус и косинус определяются формулами

Остальные Т. ф. могут быть определены формулами

Все Т. ф.периодические функции. Графики Т. ф. даны на рис. 2.

Основные свойства Т. ф.: область определения, множество значений, четность и участки монотонности приведены в табл.

Каждая Т. ф. в каждой точке своей ооласти определения непрерывна и бесконечно дифференцируема; производные Т. ф.:

Интегралы от Т. ф.:

Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды:

при

при

при 0 < |х|< (Bn числа Бернулли).

Функция y=sinx, являющаяся обратной по отношению к функции z=sin у, определяет . как многозначную функцию от х', она обозначается y=Arcsin x. Аналогично определяются функции, обратные по отношению к другим Т. ф.; все они наз. обратными тригонометрическими функциями.

Тригонометрические функции комплексного переменного. Т. ф. для комплексных значений переменного z=x+iy определяются как аналитические продолжения соответствующих Т. ф. действительного переменного в комплексную плоскость.

Так, sinz и cosz можно определить с помощью рядов для sinxи cos х. Эти ряды сходятся во всей плоскости, поэтому sinz и cosz целые функции.

Т. ф. тангенс и котангенс определяются формулами

Т. ф. tg z и ctg z мероморфнае функции. Полюсы tg zпростые (1-го порядка) и находятся в точках полюсы ctg z также простые и находятся в точках

Все формулы, справедливые для Т. ф. действительного аргумента, остаются справедливыми и для комплексного аргумента.

В отличие от Т. ф. действительного переменного, функции sin zи cos z принимают все комплексные значения: уравнения sin z=a и cos z=a имеют решения для любого комплексного а:

Т. ф. tg z и ctg z принимают все комплексные значения, кроме уравнения tg z=o, ctg z=a имеют решения для любого комплексного числа

Т. ф. можно выразить через показательную функцию:

и гиперболические функции:sin z=-.sh iz, cos z=chiz, tg z =i th iz.

В. И. Битюцков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985