Математическая энциклопедия - векторное расслоение

локально тривиальное расслоение : , каждый слои к-рого наделен структурой (конечномерного) векторного пространства над телом ; наз. размерностью В. р. Сечения В. р. я образуют локально свободный модуль над кольцом непрерывных функций на Всо значениями в . Морфизмом В. р. наз. морфизм расслоений ', для к-рого каждое отображение является линейным отображением. Совокупность В. р. и их морфизмов образует категорию Bund. Понятие В. р. возникло как обобщение касательного расслоения и нормального расслоения в дифференциальной геометрии; в настоящее время оно является базой и орудием исследования в различных областях математики в дифференциальной и алгебраич. топологии, теории линейных связно-стей, алгебраич. геометрии, теории (псевдо)дифференциальных операторов и т. д.

Подмножество такое, что есть В. р. и векторное подпространство , наз. подрасслоением В. р. . Пусть, напр., V - векторное пространство и Грассмана многообразие подпространства Vразмерности ; тогда подпространство произведения состоящее из пар таких, что , есть подрасслоение тривиального В. р. объединение всех векторных пространств , где подрасслоение я, снабженное фактортопологией, наз. фактор-расслоением В. р. . Пусть, далее, V - векторное пространство и комногообразие Грассмана подпространств Vкоразмерности k;тогда факторпространство произведения по подрасслоению, состоящему из пар , есть факторрасслоение g^k тривиального В. р. . Понятия подрасслое-ния и факторрасслоения используются в конструкциях стягивания и склеивания, применяющихся для построения В. р. над факторпространствами.

В-морфизм В. р. наз. точным, если локально постоянна на В. Инъективный и сюрьективный морфизмы являются точными и наз. соответственно мономорфизмом и эпиморфизмом В. р. Для точного морфизма однозначно определены следующие В. р.: под-расслоение , подрасслоение , (коядро ) факторрасслоение , (кообраз ) факторрасслоение ; каждое подрасслоение p1 является образом нск-рого мономорфизма а факторрасслоение p2 коядром нек-рого эпиморфизма Последовательность В-морфизмов В. р.

наз. точной, если для всех является точной последовательность

В частности, последовательность

(где 0 нулевое В. р.: ) точна, если мономорфизм, эпиморфизм и . Совокупность В. р. над Ви их точных В-морфизмов образует точную подкатегорию категории Bund.

Для любого В. р. : и отображения индуцированное расслоение. снабжается такой структурой В. р., что морфизм является морфизмом В. р. Эта структура единственна и обладает тем свойством, что каждое отображение является изоморфизмом векторных пространств. Напр., каждое В. р. размерности kнад пара-компактным пространством Визоморфно В. р. и , индуцированным нек-рыми отображениями соответственно, причем гомотопные отображения индуцируют изоморфные В. р., и, если ,наоборот: изоморфным В. р. соответствуют гомотопные отображения и . Это одна из основных теорем гомотопической классификации В. р., выражающая универсальность В. р. и по отношению к классифицирующим отображениям и

Любой непрерывной операции ( функтору) Т на категории векторных пространств однозначно соответствует непрерывный функтор на категории В. р. над В;таким образом строятся расслоения, ассоциированные с данным В. р.: тензорные расслоения, В. р. морфизмов и, в частности, сопряженное В. р. , внешние степени В. р. и т. д., сечения к-рых наделяют В. р. дополнительными структурами, широко используемыми в приложениях.