Математическая энциклопедия - векторное алгебраическое расслоение

морфизм многообразий , локально (в Зариского топологии).устроенный как проекция прямого произведения на , причем склейка сохраняет послойно структуру векторного пространства. При этом Еназ. пространством расслоения, базой, а п - рангом (или размерностью) расслоения. Морфизмы В. а. р. определяются так же, как и в топологии. Более общее определение, пригодное для произвольной схемы,-использует понятие пучка. Пусть локально свободный пучок модулей конечного (постоянного) ранга, тогда аффинный морфизм : , где пучок симметрических алгебр , наз. векторным расслоением, ассоциированным с Эту терминологию сохраняют иногда и в случае, когда произвольный квазикогерентный пучок. Пучок однозначно восстанавливается по В. а. р. , и категория В. а. р. на оказывается двойственной к категории локально свободных пучков -модулей. При этом для Х-схемы Yмножество Х-морфизмов биективно соответствует множеству гомоморфизмов -модулей где f структурный морфизм Х-схемы Y. В частности, пучок ростков сечений В. а. р. отождествляется с двойственным к пучком . В. а. р. наз. тривиальным векторным расслоением ранга п. Множество всех В. а. р. ранга пна схеме находится во взаимно однозначном соответствии с множеством кого-мологий где пучок автоморфизмов тривиального векторного расслоения ранга п. В. а. р. ранга 1 наз. линейными векторными расслоениями, они соответствуют обратимым пучкам -модулей и тесно связаны с дивизорами на X;множество линейных векторных расслоений с операцией тензорного произведения образует группу (см. Ликара группа).

Для В. а. р., как и в топологии, определены операции прямой суммы, тензорного произведения, двойственного расслоения, симметрической и внешней степени, индуцированного В. а. р. и др. Для В. а. р. Еранга плинейное векторное расслоение наз. определителем. С В. а. р. Еможно связать проективное расслоение Р(Е).аналогично тому, как с векторным пространством связано проективное пространство (см. Проективная схема).

Примеры нетривиальных В. а. р. дают канонические В. а. р. на Грассмана многообразиях;в частности, на проективном пространстве Р ⁿ имеется каноническое линейное расслоение, соответствующее пучку Если В. а. р. Ена схеме Xявляется подрасслоением тривиального В. а. р., то такое вложение определяет морфизм Xв соответствующее многообразие Грассмана, причем относительно этого морфизма индуцируется каноническим В. а. р. на многообразии Грассмана. Линейные расслоения, определяющие вложение Xв Р", наз. очень обильными (см. Обильное еекторное расслоение).

Другими примерами В. а. р. являются касательное расслоение Т(X).на гладком многообразии Xи расслоения, построенные из него при помощи различных операций (см. Касательный пучок, Канонический класс, Нормальный пучок).

В. а. р. на многообразии, определенном над полем комплексных чисел , можно рассматривать как аналитическое или как топологическое (в топологии комплексного пространства) В. а. р. На полном алгебраич. многообразии категории аналитич. и алгебраич. В. а. р. эквивалентны (см. Сравнения теоремы, в алгебраич. геометрии). Топологич. векторное расслоение не всегда допускает алгебраич. структуру, а если и допускает (как, например, расслоения на Р ²), то, вообще говоря, не единственную. Рассмотрение В. а. р. как топологического позволяет использовать топологические методы, в частности, вводить Чжэня классы В. а. р. Имеется и абстрактное определение классов Чжэня, использующее К-функтор или один из вариантов Вейля когомологий.

Свойства В. а. р. зависят от того, является ли его база полной или аффинной схемой. В случае аффинной базы В. а. р. соответствуют проективным модулям конечного типа над кольцом А. Если ранг В. а. р. Ебольше размерности базы X, то Еможно представить в виде где 1 одномерное тривиальное расслоение. определяется, вообще говоря, не однозначно. Все же, если ранг Ебольше размерности базы и (см. [4]). Если Xнеособая одномерная схема (т. е. А дедекиндово кольцо), то любое В. а. р. есть прямая сумма тривиального и линейного векторного расслоений. Это же верно для В. а. р. на неособой аффинной поверхности над алгебраически замкнутым полем, бирационально эквивалентной линейчатой поверхности.