Математическая энциклопедия - векторный анализ

раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются векторные поля и скалярные поля.

Одним из основных понятий В. а. для изучения скалярных полей является градиент. Скалярное поле и(М).наз. дифференцируемым в точке Мобласти D, если приращение поля в точке Мможет быть представлено в виде:

где вектор, соединяющий точку , расстояние между точками , а -линейная форма относительно вектора . Линейная форма единственным образом может быть представлена в следующем виде:

где не зависящий от (т. е. выбора точки М') вектор. Вектор наз. градиентом скалярного поля и обозначается символом В случае, когда скалярное поле дифференцируемо в каждой точке век-рой области, является векторным полем. Градиент всегда направлен ортогонально линии (поверхности) уровня скалярного поля ис производной по направлению связан соотношением:

Для изучения векторных полей используется понятие дивергенции и ротора. Пусть векторное поле наз. дифференцируемым в точке Мнек-рой области D, т . е. приращение поля в точке Мединственным образом может быть представлено в виде:

где линейный оператор, не зависящий от (от выбора точки ). Дивергенцией div авекторного поля наз. следующий скалярный инвариант линейного оператора :

(*)

где взаимные базисы (символ Кронекера). Если поле скоростей в установившемся потоке несжимаемой жидкости, то в точке Мозначает интенсивность источника () или стока (), находящихся в точке М, или отсутствие их ().

Вихрем (ротором) векторного поля наз. следующий векторный инвариант линейного оператора Аиз (*):

где взаимные базисы. Вихрь векторного поля может быть интерпретирован как векторная "вращательная составляющая" этого поля.

Для векторных и скалярных полей класса возможны повторные операции, напр.:

где оператор Лапласа.

Градиент, дивергенция и вихрь обычно наз. основными дифференциальными операциями В. а. О свойствах основных дифференциальных операций В. а. и записи в специальных системах координат см. Вихрь, Градиент, Дивергенция.

В терминах основных операций В. а. могут быть записаны основные интегральные формулы, связывающие объемные, поверхностные и контурные интегралы. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в конечной связной области V, граница L - кусочно гладкая.

Пусть S - ограниченная, полная, кусочно гладкая двусторонняя поверхность с кусочно гладкой границей . Тогда справедлива Стокса формула: