Математическая энциклопедия - аналитическое кольцо

кольцо ростков аналитич. функций в точке аналитического пространства. Более точно: пусть kесть поле с нетривиальным абсолютным значением (обычно предполагаемое полным) и есть fc-алгебра степенных рядов от с коэффициентами в k, сходящихся в нек-ром полицилиндре с центром (при этом каждый ряд сходится в своем полицилиндре). Аналитическим кольцом над k, или аналитической k-a лгеброй, наз. факторкольцо кольца ; обычно k - поле R действительных или поле С комплексных чисел. Каждое А. к. является локальным, нётеровым и гензелевым кольцом; его поле вычетов изоморфно k. А. к. будет регулярным (и факториальным) кольцом, а его пополнение в топологии, определяемой максимальным идеалом , совпадает с кольцом формальных степенных рядов . Для А. к. верна нормализационная лемма: целостное А. к. является конечным расширением А. к. Вообще, алгебры, конечные над , наз. кваз и аналитическими kалгебрами. Еслп совершенное поле, то А. к. является превосходным кольцом.

Лит.:[1] Dieudonne J., Grothendieck A "J. Algebra", 1967, у. 5, № 3, р. 305-24; [2] Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций, пер. с англ., М., 1968; [3] Abhyankar S. S., Local analytic geometry, N. Y 1964. В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985