Математическая энциклопедия - аналитическая функция абстрактная

аналитическое отображение банаховых пространств,функция действующая из нек-рой области Dбанахова пространства Xв банахово пространство Y и дифференцируемая по Фреше всюду в D, т. е. такая, что для каждой точки существует ограниченный линейный оператор из , для к-рого выполняется соотношение:

где обозначает норму в ; наз. дифференциалом Фреше функции f в точке а.

Другой подход к понятию А. ф. а. возникает из дифференцируемости по Гато. Функция f(x).из Dв Yназ. слабо аналитической в D, илп дифференцируемой по Гато в D, если для каждого линейного непрерывного функционала у' над пространством Yи каждого элемента комплексная функция является голоморфной функцией комплексного переменного в круге где Всякая А. ф. а. в области Dнепрерывна и слабо аналитична в D. Обратное также верно, причем условие непрерывности можно заменить локальной ограниченностью или непрерывностью по Бэру.

Термин "А. ф. а." иногда используется в более узком смысле, когда под ним понимается функция комплексного переменного со значениями в банаховом или даже линейном локально выпуклом топологич.

пространстве Y. В этом случае всякая слабо аналитич. функция в области Dплоскости комплексного переменного является А. ф. а. Можно также сказать, что функция будет А. ф. а. в области тогда и только тогда, когда непрерывна в и для любого простого замкнутого спрямляемого контура интеграл обращается в нуль. Для А. ф. а. комплексного переменного z справедлива интегральная формула Кошп (см. Коши интеграл). Пусть слабо аналитич. функция в области Dбанахова пространства X. Тогда , как функция комплексного переменного , имеет производные всех порядков в области причем эти производные суть А. ф. а. из D в Y. Если множество принадлежит D, то

где ряд сходится по норме и

Функция у=Р (х).из Xв Yназ. полиномом относительно переменного хстепени не выше т, если для всех и для всех комплексных

где функции не зависят от . Степень точно равна т, если Степенным рядом наз. ряд вида однородные полиномы степени птакие, что = для всех комплексных . Всякий слабо сходящийся степенной ряд в области Dсходится и по норме к нек-рой слабо аналитической функции , причем . Функция является А. ф. а. в Dтогда и только тогда, когда в окрестности каждой точки она разлагается в степенной ряд где все непрерывны в X.

На А. ф. а. переносятся с соответственными изменениями многие основные результаты классич. теории аналитич. функций такие, как максимума модуля принцип, теоремы единственности, Витали теорема, Лиувил.