Математическая энциклопедия - аналитическая теория дифференциальных уравнений

раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в к-ром решения исследуются с точки зрения теории аналитич. функций. Типичная постановка задачи в А. т. д. у. такова: дан нек-рый класс дифференциальных уравнений, все решения к-рых суть аналитич. функции одной переменной; требуется выяснить, какими специфич. свойствами обладают аналитич. функции, являющиеся решениями данного класса уравнений, В таком широком понимании А. т. д. у. включает теорию алгебраич. функций, теорию абелевых интегралов, теорию специальных функций и т. д. Специальные функции Бесселя функции, Эйри функции, Лежандра функции, Лагерра функции, Эрмита функции, Чебышева многочлены, Сонина функции, Уиттекера функции, Вебера функции, Матье функции, гипергеометрическая функция и многие другие являются решениями линейных дифференциальных уравнений с аналитич. оэффициентами.

Линейная теория. Рассмотрим систему из пуравнений в матричной записи

1) Пусть матрицы голоморфны в области комплексная плоскость t). Тогда всякое решение системы (1) аналитично в G (но, вообще говоря, неоднозначно, если область Gнеодносвязна). Предположим, что A(t).мероморфна в области G, и рассмотрим однородную систему

[Матрица A(t).наз. голоморфной (мероморфной) в области G, если все ее элементы голоморфны (мероморфны) в этой области.] Точка t0 принадлежащая Gназ, полюсом матрицы A(t).порядка v>=l, если в нек-рой окрестности этой точки

где постоянные матрицы, а матрица В(t).голоморфна в точке t0 . Полюс t0 не равный бесконечностипорядка наз. регулярной особой точкой при и иррегулярной особой точкой при v>=2. Случай сводится к случаю заменой Ниже

2) Пусть полюс Тогда существует фундаментальная матрица системы (2) вида

где D - постоянная матрица, голоморфна при если регулярная особая точка, и Ф (t).голоморфна при , если иррегулярная особая точка, для нек-рого (Здесь по определению.) Для регулярной особой точки матрица Dвыражается через A(t).в явном виде (см. [1], [2]); для иррегулярных особых точек это не так.

Аналогичная классификация особых точек вводится для дифференциальных уравнений порядка пс меро-морфными коэффициентами. Дифференциальные уравнения и системы, все особые точки к-рых регулярны, наз. дифференциальными уравнениями (системами) класса Фукса. Общий вид матрицы для такой системы:

Примером дифференциального уравнения класса Фукса является гипергеометрическое уравнение.

3) Пусть целое, голоморфна при (это иррегулярная особая точка, если Если 5 достаточно узкий сектор вида то существует фундаментальная матрица вида

где постоянная матрица, диагональная матрица, элементы к-рой суть полиномы от целое и

при Вся плоскость С (t) разбивается на конечное число секторов, в каждом из к-рых есть фундаментальная матрица вида (4) (см. [3], [4], а также [1]. [2]). 4) При аналитич. родолжении вдоль замкнутого пути фундаментальная матрица X(t).умножается на : постоянная матрица; возникает монодромии группа дифференциального уравнения. И. А. Лаппо-Данилевским [5] была исследована проблема Римана: пусть A(t) - рациональная функция от t, и пусть известны особенности фундаментальной матрицы X(t);требуется найти A(t).

5) Пусть функция конформно отображает верхнюю полуплоскость Im t>0 на внутренность многоугольника, граница к-рого состоит из конечного числа отрезков прямых и дуг окружностей. Тогда функция удовлетворяет уравнению Шварца

где рациональная

функция, причем уравнение

принадлежит классу Фукса. Любое решение уравнения (5) может быть представлено в виде где линейно независимые решения уравнения (6). Пусть бесконечная дискретная группа, автоморфная функция группы G; тогда может быть представлена в виде линейно независимые решения уравнения (6) и R(t) - нек-рая алгебраическая функция.

Нелинейная теория. 1) Рассмотрим задачу Коши:

здесь

Теорема Коши: пусть функция голоморфна по в области и точка Тогда существует такое, что в области существует решение задачи Коши (7), единственное п голоморфное.

Аналитич. продолжение решения также будет решением системы (7), однако полученная в результате продолжения функция может иметь особенности и, вообще говоря, будет неоднозначной функцией от t. Возникают вопросы: какие особенности может иметь эта функция, как устроено решение в целом?

В линейном случае получены окончательные ответы на эти вопросы. В нелинейном случае ситуация значительно сложнее и не выяснена достаточно полно даже в том случае, когда рациональные функции от t, x.

2) Рассмотрим одно дифференциальное уравнение

где голоморфные по функции в нек-рой области G. Точка наз. (существенно) особой точкой уравнения (8), если Выясним структуру решений в окрестности особой точки уравнения. Разложим в ряды Тейлора:

и пусть собственные значения матрицы Имеет место теорема: пусть и ни одно из чисел не является: а) целым неотрицательным числом, б) действительным отрицательным числом. Тогда существуют окрестность Uточки , окрестность точки и функции такие, что: отображение задаваемое этими функциями, является биголоморфным; дифференциальное уравнение (8) в новых переменных принимает вид (см. [6]):