Математическая энциклопедия - аналитическая группа

множество G, наделенное одновременно структурой топологической группа и структурой конечномерного аналитического многообразия (над нолем k, полным относительно нек-ро-го нетривиального абсолютного значения).так, что отображение заданное правилом является аналитическим. А. г. Gвсегда хаусдорфова; если А локально компактно, то Gлокально компактна. В случае, когда kявляется соответственно полем действительных, комплексных или р-адических чисел, G наз. соответственно вещественной (действительной), комплексной или р-адической А. г. Примером А. г. может служить полная линейная группа векторного пространства над k(см. Линейная классическая группа).или, более общо, группа обратимых элементов произвольной конечномерной ассоциативной алгебры с единицей над k. Вообще, группа k-рациональных точек алгебраической группы,, определенной над k, является А. г. Подгруппа в А. г. G, являющаяся подмногообразием в G, наз. аналитической подгруппой; такая подгруппа обязательно замкнута в G. Напр., ортогональная группа является аналитич. одгруппой в Всякая замкнутая подгруппа вещественной или р-адической А. г. аналитична и всякий непрерывный гомоморфизм таких групп аналитичен (теоремы Картана, см. [1]).

А. г. иногда наз. группой Ли (см. [1]), однако обычно группа Ли понимается более узко как вещественная А. г. (см. [2], [3] и Ли группа). Комплексная же и р-адическая А. г. наз. соответственно комплексной и р-адической группами Ли.

Сформулированные выше теоремы Картана означают, что категория вещественных пли р-адических А. г. будет полной подкатегорией в категории локально компактных топологич. групп. Вопрос о том, насколько эти категории отличаются, т. е. когда локально компактная группа G является вещественной или р-адической А. г., допускает исчерпывающий ответ: в действительном случае в G должна существовать окрестность единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп (см. [5] -[9]); в р-адическом случае в G должна содержаться конечно порожденная открытая подгруппа U, являющаяся прор-группой, коммутант к-рой лежит в множестве степеней элементов из U(см. [10]). В частности, любая топологич. группа, имеющая окрестность единицы, гомеоморфную евклидову пространству (так наз. локально евклидова топологическая группа, см. [4]), есть вещественная А. г. Иначе говоря, из существования в топологич. группе непрерывных локальных координат вытекает существование аналитических локальных координат; этот результат составляет положительное решение пятой проблемы Гильберта (см. [5], [11]).

В случае нулевой характеристики поля kважнейшим методом исследования А. г. является изучение их алгебр Ли (см. Ли алгебра аналитической группы).

О бесконечномерных А. г. см. Ли банахова группа.

Лит.:[11 Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ, и франц., М., 1969; [2] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] Шевалле К., Теория групп Ли, т. 1, пер. с англ., М., 1948; [4] Xелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [5] Проблемы Гильберта, М., 1969, с. 101 15; [6] G1еasоn A., "Ann. Math.", 1952, v. 56, №. 2, p. 193-212; [7] Моntgоmеrу D., Ziррin L., "Ann. Math.", 1952, т. 56, № 2, p. 213-41; Г8] Yamabе Н., "Ann. Math.", 1953, v. 58, M 1, p. 48-54; [9] его же, там же, 1953, v. 58, № 2, р. 351-65; [10] Lazard M., "Publ. Math. IHES", 1965, t. 26, p. 389-594; [11] Капланский И., Алгебры Ли и локально компактные группы, пер. с англ., М., 1974.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985