Математическая энциклопедия - аналитическая теория чисел

раздел теории чисел. В А. т. ч. включают вопросы распределения простых чисел, аддитивные проблемы, исследование поведения теоретико-числовых функций, теорию алгебраических и трансцендентных чисел.

Распределение простых чисел, а) Одной из интереснейших и труднейших задач А. т. ч. является проблема распределения простых чисел (п. ч.). Первый результат в проблеме распределения п. ч.теорема Евклида: п. ч. бесконечно много. Пусть (х) - число п. ч., не превосходящих х;тогда теорема Евклида может быть сформулирована так: при . Следующий шаг в этом вопросе был сделан П. Л. Чебышевым (1850). Он доказал, что:

1) Для величины выполняются неравенства

причем

2) Если существует предел то этот предел равен 1.

Проблему существования последнего предела решили в 1896 Ж. Адамар (J. Hadamard) и Ш. Ж. Ла Балле Пуссен (Ch. J. La Vallee Poussin), установив тем самым, что

Ш. Ж. Ла Балле Пуссен доказал значительно больше, а именно: пусть

тогда

где абсолютная постоянная (см. Балле Пуссена теорема). При решении этой проблемы были использованы методы теории функций комплексного переменного. С проблемой оценки тесно связана проблема поведения нек-рой функции комплексного переменного, к-рую впервые (1859) изучал Б. Риман (В. Riemann), и к-рая теперь наз. Рпмана дзета-функцией. Эта функция задается равенством

При действительном s дзета-функцию рассматривал еще Л. Эйлер (L. Euler; 1737, 1749) и им было доказано тождество, к-рое указывает на связь с п. ч.:

где произведение берется по всем п. ч. Функцию , заданную рядом при , можно аналитически продолжить на всю плоскость комплексного переменного; тогда получится функция, к-рая будет аналитической на всей плоскости комплексного переменного за исклю-.ченпем точки , где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1. Проблема оценки остатка в асимптотич. формуле распределения п. ч. тесно связана с проблемой распределения нулей в "критической" полосе Б. Риманом была высказана гипотеза, что все нули в критич. полосе лежат на прямой Из этой гипотезы следует, что Наоборот, из соотношения произвольно мало, следует справедливость Римана гипотезы о нулях Ж. Адамар и Ш. Ж. Ла Балле Пуссен получили асимптотич. закон распределения п. ч., доказав, что не имеет нулей при . Для величины доказаны так наз. -теоремы: существуют такие две последовательности что

б) Другой проблемой теории распределения п. ч. является проблема оценки разности соседних п. ч., то есть числа где есть ге-е простое число. Здесь также первый общий результат принадлежит П. Л. Чебышеву, доказавшему, что между Nи 2N, лежит п. ч. (Бертрана постулат). Оценка тесно связана с функцией числом нулей в прямоугольнике Функция в свою очередь, тесно связана с функцией Существуют гипотезы: ( плот-ностная гипотеза).и ( Линделёфа гипотеза), произвольно мало. Из гипотезы Рима-на о нулях следует гипотеза Линделёфа, из гипотезы Линделёфа плотностная гипотеза, из к-рой следует, что Доказано, что где

в) Вопрос о распределении п. ч. в арифметич. прогрессиях приводит к вопросу о нулях специальных дзета-функций, так наз. L-рядов Дирихле, к-рые имеют вид:

коэффициенты, зависящие от пи от разности прогрессий (характеры Дирихле по mod k).

Проблемы распределения нулей Lрядов Дирихле и распределения п. ч. в арифметич. прогрессиях имеют свои специфич. особенности. Одно из самых крупных достижений в этом вопросе следующее (К. Зигель; К. Siegel, 1935): пусть число п. ч., не превосходящих в прогрессии Тогда

где Эйлера функция и произвольные фиксированные числа. Сведения о распределении п. ч. в арифметич. прогрессиях существенно используются при решении аддитивных задач с п. ч. См. также Распределение простых чисел.

Аддитивные проблемы. К аддитивным задачам А. т. ч. относятся проблемы, связанные с уравнениями в целых числах специального вида. Основными вопросами в этой проблематике являются следующие: доказать разрешимость заданного уравнения, найти асимптотич. формулу для числа решений заданного уравнения. Второй вопрос значительно труднее, и положительный ответ на него в нек-ром смысле дает ответ на первый вопрос. Классич. примерами аддитивных задач являются Варинга проблемы, Гольдбаха проблема, Харди Литлвуда проблема.

Проблема Варинга (1770) формулируется так: пусть число решений в целых положительных числах уравнения

где целое число. Доказать, что существует такое число (k0 зависит только от п), что при Другими словами, доказать, что любое число может быть представлено суммой степеней целых положительных чисел, причем число слагаемых в этом представлении зависит только от п. При n=2 задача была решена Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1770), к-рый доказал, что каждое целое положительное число есть сумма четырех квадратов целых чисел. Первое общее решение проблемы Варинга дано Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1909. Позднее, в 1924 Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. Литлвуд (J. Little-wood), применив свой круговой метод, доказали, что для при имеет место асимптотич. формула вида:

где с - абсолютная константа. А поскольку существует бесконечно много таких чисел N, к-рые для k = n не являются суммой n-x степеней, т. е. то возникла проблема установления истинного порядка величины kв зависимости от п, при к-ром разрешимо уравнение (1) п справедлива формула (2). Самые сильные результаты в этой проблеме принадлежат И. М. Виноградову, к-рый в 1934 доказал, что

а) при если

б) формула (2) имеет место при

Другая классич. аддитивная проблема проблема Гольдбаха Эйлера (1742), состоит в следующем: пусть

число решений в простых числах уравнения доказать, что при нечетном будет . В 1937 И. М. Виноградов доказал, что (асимптотич. формула для J(N)).

где Отсюда, в частности, следует, что при т. е. решение проблемы Гольдбаха Эйлера для достаточно больших N.

К аддитивным задачам относится проблема Харди Литлвуда (1923); каждое может быть представлено в виде где простое число, целые положительные числа. В 1958 Ю. В. Линндк доказал, что если число решений этого уравнения, то имеет место асимптотич. формула

где абсолютная константа. Отсюда следует, что при т. е. решение проблемы Харди Литлвуда для достаточно больших N. Имеется много аддитивных проблем, к-рые еще не решены и имеют возраст сотен и даже тысяч лет. К ним, напр., относятся вопросы о бесконечности числа п. ч. близнецов, т. е. пар п. ч. ри qтаких, что бинарная проблема Гольбаха Эйлера, т. е., что каждое четное число есть сумма двух п. ч., проблема существования бесконечного числа п. ч. в последовательности вида См. также Аддитивные проблемы.

Поведение теоретико-числовых функций. В теории чисел имеется ряд классич. функций: число чисел, не превосходящих и взаимно простых с п(функция Эйлера), число делителей числа п, Мёбиуса функция, Манголъдта функция и др. Несмотря на то, что каждая из указанных функции ведет себя довольно "неправильно", средние значения этих функций уже поддаются изучению. Под средним значением функции понимают величину Вопрос об оценке среднего значения функции эквивалентен вопросу о границе нулей дзета-функции Рпмана. Вопрос об асимптотике среднего значения функции эквивалентен вопросу об асимптотич. формуле для , т. е. также вопросу о границе нулей дзета-функции Римана. Во всех этих задачах достигнуты те же результаты, что и в проблеме распределения п. ч. Особо стоит вопрос об асимптотике среднего значения или, несколько иначе, вопрос об асимптотич. формуле для суммы значений . Пусть

Тогда число целых точек под гиперболой Таким образом, нахождение асимптотики это проблема нахождения асимптотики числа целых точек в расширяющихся областях. К этой проблематике относится задача о числе целых точек в круге, т. е. задача о числе

х, у - целые числа, п обобщения этих задач на произвольные области как на плоскости, так и в пространстве, П. Дирихле (1849) доказал, что

где Задачи нахождения наилучших возможных оценок величин стали наз. соответственно делителей проблемой и круга проблемой. Г. Ф. Вороной (1903) получил

а В. Серпиньский ( ) -

Кроме того, доказаны -теоремы, а именно, что

В настоящее время (1976) получены оценки и несколько лучше, чем у Г. Ф. Вороного и В. Сер-пиньского.

Родственной рассмотренным задачам является задача об асимптотике суммы дробных долей различного вида функций или эквивалентная ей задача вопрос о распределении дробных долей различного вида функций. Обозначим через дробную часть числа Тогда если вещественная функция, то возникает вопрос об асимптотике следующих двух функций:

Если для любого

то говорят, что дробные доли функции распределены равномерно. Равномерность распределения дробных долей функции может быть выражена и в терминах асимптотики для . Первые результаты о равномерном распределении дробных долей многочленов, критерии равномерного распределения были найдены Г. Вейлем (Н. Weyl, 1916). Наиболее точные результаты в этих вопросах получены И.