Математическая энциклопедия - дискрепанс

последовательности точек w=(x1, . . ., xN) из единичного s-мерного куба Ks=норма функционала

вычисленная в той или иной метрике. Здесь vи N(V)соответственно объем области V={x : }и число точек последовательности (о, принадлежащих области V. Если рассматривается распределение точек последовательности со по областям вида V={x :}, то в (1) принято вместо j(a, w) писать j(a, b, w).

Наиболее употребительны нормы функционала (1): .

Последовательность точек w=(x1, . . ., xN, . . .) из единичного s-мерного куба Ks равномерно распределена тогда и только тогда, когда (см. [1]):

Для любой бесконечной последовательности одномерных точек w= { х п:}справедлива теорема (см. [3]):

Какова бы ни была последовательность w= {х п: 0xn1, п=} можно указать последовательность N1, ..., Nk . . . такую, что при N=Nk (см. [4]):

Окончательный результат для бесконечных последовательностей одномерных точек состоит в том, что при N=Nk (см. [5]):

Исследовался Д. различных конкретных последовательностей (см. [6]-[8]) и получены оценки сверху

соответственно для конечных и бесконечных последовательностей; и оценки снизу (см. [4]): для любой последовательности из Nточек имеет место неравенство какова бы ни была бесконечная последовательность можно указать последовательность номеров N1. . . ., Nk, . . . , таких, что при N=Nk:

При этом

Лит.:[1] Wеуl Н., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 313-52; [2] Van der Corput J. G., "Proc. Koninkl. ned. akad. wet. A", 1935, dl 38, № 8, p. 813-21; № 10,' p. 1058-66; [3] Van Aordenne-Ehrenfert Т., "Indagat. math.", 1949, dl 11, p. 264-69; [4] Rоth K. F., "Mathematika", 1954, v 1, p. 73-79; [5] Schmidt W. M., "Acta arithm.", 1972, t 21, p. 45-50; [6] Hal ton J. H., "Numer. Math.", 196J), Bd 2, № 2, S. 84-90; [7] Соболь И. М., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1967, т. 7, № 4, с. 784-802; [8] Коробов Н. М., Теорикочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963; [9] Кuiреrs L., Niederreiter H., Uniform distribution of sequences, N. Y., 1974.

В. М. Солодов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985