Математическая энциклопедия - дистальная динамическая система

такая динамическая система {Т ^t} с метрич. фазовым пространством X, что для любых точек нижняя грань расстояний

Если в нек-рой динамич. системе какая-либо пара точек обладает последним свойством, то говорят, что эта пара точек дистальна; таким образом, Д. д. с.это динамич. система, для к-рой все пары точек дистальпы.

Приведенное определение годится для "общих" динамич. систем, когда "время" tпробегает произвольную группу G. Содержательные результаты получаются, если Gлокально компактна (основными являются "классические" случаи каскада или потока, т. е. когда G=Z или G=R, но рассуждения при этом почти не упрощаются), а Xкомпактно. Особый интерес при этом представляет тот случай, когда Xявляется минимальным множеством (общий случай в известном смысле сводится к этому, а именно, при указанных ограничениях на G и Х замыкание каждой траектории оказывается минимальным множеством). Важнейший пример Д. д. с.система, возникающая в замыкании почти периодич. траектории какой-нибудь динамич. системы. Другой пример нильпотоки (см. [1]). Как и в этих примерах, строение Д. д. с. с минимальным Xпри указанных условиях допускает довольно детальное описание алгебраич. характера (см. [2]; изложение теории Д. д. с. и их обобщений и библиографию см. в [3]).

Лит.:[1] Ауслендер Л., Грин Л., Хан Ф., Потоки на однородных пространствах, пер. с англ., М., 1966; [2J Furstenbеrg H., "Amer. J. Math.", 1963, v. 85, №3, p. 477-515; [3] Бронштейн И. У., Расширения минимальных групп преобразований, Киш., 1975.

Д. В. Аносов. ДИСТРИБУТИВНАЯ КВАЗИГРУППА квазигруппа, в к-рой выполняются левый и правый дистрибутивные законы: x-yz=xy-xz, yz-x=yx-zx. Эти два закона в квазигруппах не зависят друг от друга (существуют леводистрибутивные квазигруппы, не являющиеся праводиетрибутивными, [1]). Примером Д. к. служит множество Qрациональных чисел с операцией ( х+у)/2. Всякая идемпотентная медиальная квазигруппа (т. е. квазигруппа Q, в к-рой выполняются соотношения х ²=х и xy-uu=xu-yu. для всех ) дистрибутивна. В общем случае всякая Д. к. Q(-)изотопна коммутативной Myфанг лупе[3]. Парастрофы (квазигруппы относительно обратных операций, см. Квазигруппа )Д. к. тоже дистрибутивны и изотопны той же коммутативной лупе Муфанг. Если четыре элемента а, b, с, d в Д. к. связаны медиальным законом: ab-cd=ac-bd, то они порождают медиальную подквазигруппу. В частности, всякие три элемента Д. к. порождают медиальную подквазигруппу. В Д. к. трансляции являются автоморфизмами, поэтому в определенном смысле Д. к. однородна: ни один элемент, ни одна подквазигруппа не выделяются. Группа, порожденная хвсеми правыми трансляциями Д. к., разрешима [4].

Лит.:[1] Stein Sh., "Publ. Math. Debrecen", 1959,v. 6, № 1-2, p. 10 14; [2] Белоусов В. Д., "Матем. сб.", 1960, т. 50, № 3, с. 267-98; [3] его же. Основы теории квазигрупп и луп, М., 1967; [4] Fischer В., "Math. Z.", 1964, Bd 83, № 4, S. 267 303.

В. Д. Белоусов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985