Математическая энциклопедия - квазигруппа

множество с одной бинарной операцией (наз. обычно умножением), в к-ром каждое из уравнений ах=Ь и уа=Ь имеет единственное решение для любых элементов а, b этого множества. К. с единицей наз. лупой.

К.естественное обобщение понятия группы. К. возникают в различных областях математики, напр, в теории проективных плоскостей, неассоциативных тел, в ряде вопросов комбинаторного анализа и т. п. Термин "К." введен Р. Муфанг (R. Moufang); с ее работ по недезарговым плоскостям (1935), в к-рых выяснялась связь таких плоскостей с К., собственно и началось развитие теории К.

Основные понятия. Отображения Ra: х ха и La: x ах наз. правой и левой трансляциями (или сдвигами) относительно элемента а. В К. трансляции являются подстановками множества ее элементов. Подгруппа Gгруппы подстановок множества Q, порожденная всеми трансляциями К. Q(Х), наз. группой, ассоциированной с квазигруппой Существует тесная связь между строением группы Gи К.

Гомоморфный образ К., вообще говоря, не К., а группоид с делением. Гомоморфизмам К. на К. соответствуют так наз. нормальные конгруэнции (конгруэнция q на нормальна, если каждое из соотношений асqbс и caqcb влечет аqb). В группах все конгруэнции нормальны. Подквазигруппа Иназ. нормальной, если существует такая нормальная конгруэнция q, что Нсовпадает с одним из классов конгруэнции. Существуют К., в к-рых два или даже все классы по конгруэнции q подквазигруппы.

С каждой квазигрупповой операцией на множестве связаны еще две операции, наз. левой и правой обратной операциями, обозначаемые и соответственно. Они определяются следующим образом: z/y=x и если x-y=z. Рассматривая всевозможные перестановки трех элементов х, у,z, можно получить пять обратных операций, не считая исходной. Переход от основной операции к одной из них наз. парастрофией. К., в к-рых все обратные операции совпадают с основной, наз. тотально-симметрическим и, или TS-к вазигруппами. TS-квазигруппы можно определить также как К., удовлетворяющие тождествам: ху=ух и х( ху) = у. Идемпотентные TS-квазигруппы (т. е. с дополнительным тождеством х ²=х )наз. квазигруппами Штейнера. Они тесно связаны с системами троек Штейнера (см. Штейнера система).

Одним из самых важных понятий в теории К. является понятие изотопии. Изотопия может быть определена и для К., заданных на разных (но равномощных) множествах. Число неизотопных К., к-рые могут быть заданы на конечном множестве мощности п, известно (1978) только для

Основные классы квазигрупп. Самые первые работы по К. относятся к таким обобщениям групп, в к-рых требование ассоциативности заменяется более слабыми условиями, теперь называемыми постулатами "А" и "Б" Сушкевича. К. удовлетворяет постулату Сушкевича "А", если решение хуравнения ( аb) с=а(bх )зависит только от bи с, и постулату "Б", если это решение зависит только от с. Доказано, что К. этих классов изотопны группам. В случае, когда решение такого уравнения зависит от а и с, К. наз. левой F-к вази-группой. Аналогично, при помощи уравнения ( аЪ) с=х( Ъс )определяется правая F-к вазигруппа. К., являющаяся левой и правой F-квазигруппой одновременно, наз. F-к вазигруппой. Существуют F-квазигруппы, не изотопные группам. Идемпотентная F-квазигруппа наз. дистрибутивной квазигруппой и может быть определена тождествами:

(yz)x-(yx)(zx), x(yz) =(xy)(xz),

наз. тождествами дистрибутивности. Доказано, что дистрибутивные К. изотопны лупам Муфанг (см. Лупа). К.медиальна, если выполняется тождество

Всякая медиальная К. изотопна абелевой группе Q(+) и изотопия имеет вид

где j, y коммутирующие автоморфизмы группы, а снекоторый элемент Q(теорема Тоёды).

Системы квазигрупп и функциональные уравнения. Пусть на множестве Qзадана нек-рая система К. В этом случае операции удобнее обозначать буквами: вместо ab=c писать, напр., ( а,b) = с. Квазигрупповые операции на Qпредполагаются связанными между собой нек-рым образом, чаще всего какими-либо тождествами, называемыми в этом случае "функциональными уравнениями". Обычно решается задача нахождения системы К. на Qпо заданным функциональным уравнениям. Напр., решено уравнение общей ассоциативности:

а именно, доказано, что если четыре К. удовлетворяют (1), то они изотопны одной группе Q(-), а общее решение дается равенствами:

где a, b, j, y, q любые подстановки множества Q. Очень похоже решается уравнение общей медиальности:

Все шесть К. здесь оказываются изотопными одной абелевой группе.

n-арные квазигруппы. Множество с одной n-арной операцией наз. n-квазигруппой, если каждое из уравнений (где b, а 1, а2, . . . , а пQ, i=1, 2, ... , п)имеет единственное решение. На n-квазигруппы переносятся основные понятия теории К. (изотопия, парастрофия и т. д.).

Каждая re-квазигруппа изотопна нек-рой re-лупе (см. Лупа).

Некоторые классы обычных бинарных К. (такие как классы медиальных, TS-квазигрупп и др.) имеют аналог в re-арном случае. Операция Аарности n приводима, если существуют две такие операции Ви Сарности не меньше двух, что

(сокращенная запись ). В противном случае А

наз. неприводимой. Для n-арных К. верна теорема, аналогичная теореме о канонич. разложении натурального числа на простые множители.