Математическая энциклопедия - дискретного нормирования кольцо

дискретно нормированное кольцо,кольцо с дискретным нормированием, т. е. область целостности с единицей, в к-рой существует такой элемент я, что любой ненулевой идеал порождается нек-рой степенью элемента я; такой элемент наз. униформизирующим и определен с точностью до умножения на обратимый элемент. Каждый ненулевой элемент Д. н. к. единственным способом записывается в виде upⁿ, где иобратимый элемент, а целое. Примерами Д. н. к. являются кольцо Z р целых р-адических чисел, кольцо к[[Т]]. формальных степенных рядов от одной переменной Тнад полем к, кольцо Bumma векторов W(k)для совершенного поля к.

Д. н. к. может быть определено также как: локальное кольцо главных идеалов; локальное дедекиндово кольцо; локальное одномерное кольцо Крулля; локальное нётерово кольцо с главным максимальным идеалом; нётерово кольцо нормирования; кольцо нормирования с группой значений Z.

Пополнение (в естественной топологии локального кольца) Д. н. к. снова есть Д. н. к. Дискретно нормированное кольцо компактно тогда и только тогда, когда оно полно, а его поле вычетов конечно; любое такое кольцо либо изоморфно k[[Т]], где кконечное поле, либо является конечным расширением Z р..

Если локальный гомоморфизм Д. н. к. с

униформизирующими p и П, то p=uП ^e, где иобратимый элемент в В. Целое число е=е( В/А )наз. индексом ветвления расширения а наз. степенью вычетов. Такая ситуация возникает, когда рассматривают целое замыкание Вкольца дискретного нормирования Ас полем частных Кв конечном расширении Lполя К. В этом случае Весть полулокальное кольцо главных идеалов, и если n1, ... , nsего максимальные идеалы, то Bi= Bn являются Д. н. к. Если предположить, что Lсепарабельное расширение Кстепени п, то верна формула

Если L/K есть расширение Галуа, то все е( В,/А )и все f(Bi/A )равны между собой, и n=sef. Если же Аполное Д. н. к., то уже само Вбудет Д. н. к., и е( В/А) f(B/A)=n. В этих предположениях расширение (а также Lнад К)наз. неразветвленным расширением, если е( В/А)=1, а поле В/п сепарабельно над А/m;слабо разветвленным, если е( В/А )взаимно просто с характеристикой поля А/m, а В/nсепарабельно над А/т;вполне разветвленным, если f(B/A)=i.

Теория модулей над Д. н. к. имеет большое сходство с теорией абелевых групп (см. [3]). Любой модуль конечного типа есть прямая сумма циклич. модулей; модуль без кручения является плоским модулем; любой проективный модуль или подмодуль свободного модуля свободен. Однако прямое произведение бесконечного числа свободных модулей не свободно. Модуль без кручения счетного ранга над полным Д. н. к. является прямой суммой модулей ранга 1.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [3] Карla nskу J., "Trans. Amer. Math. Soc", 1952, v. 72, p. 327 40.

Б. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985