Математическая энциклопедия - эйлера подстановка

замена переменной х=x(t) в интеграле

где рациональная функция своих аргументов, сводящая этот интеграл к интегралу от рациональной функции и имеющая один из следующих трех видов. Первая подстановка Эйлера: если а>0, то

Вторая подстановка Эйлера: если корни х 1 и x2 квадратного трехчлена ах ²+bх+с действительные, то

Третья подстановка Эйлера: если c>0, то

(в правых частях равенств можно брать любые комбинации знаков). При всех Э. п. как старая переменная интегрирования x, так и радикал рационально выражаются через новую переменную t.

Две первые Э. п. позволяют всегда свести интеграл (1) к интегралу от рациональной функции на любом промежутке, на к-ром радикал пррнимает только действительные значения.

Геометрич. смысл Э. п. состоит в том, что кривая 2-го порядка

имеет рациональное параметрич. представление: именно, если за параметр tвзять угловые коэффициенты пучка секущих у-y0=t(x-x0), проходящих через точку (x0,y0) кривой (2), то координаты этой кривой будут рационально выражаться через переменную t. В случае, когда а>0 и, следовательно, кривая (2) является гиперболой, для того, чтобы получить 1-ю Э. п., за точку (x0,y0) следует взять одну из бесконечно удаленных точек, определяемых направлениями асимптот этой гиперболы; в случае, когда корни х 1 и х 2 квадратичного трехчлена ах²+bх+с действительны, для того, чтобы получить 2-ю Э. п., надо взять за точку (x0,y0) одну из точек (x1.0) или (х 2, 0); а в случае, когда с>0, чтобы получить 3-ю Э. п.одну из точек пересечения кривой (2) с осью ординат, т. е. одну из точек

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985