Математическая энциклопедия - эйлера преобразование

1) Э. п. рядов: если дан числовой ряд

то ряд

наа. рядом, полученным из ряда (1) Э. п. рядов. Здесь

Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд (2) и притом к той же сумме, что и ряд (1). Если ряд (2) сходится (в этом случае ряд (1) может расходиться), то ряд (1) наз. суммируемым по Эйлеру.

Если ряд (1) сходится, an>0, для всех k=0,1, 2, ... последовательность

монотонная и

то сходимость ряда (2) быстрее сходимости ряда (1) (см. Сходимость).

Л. Д, Кудрявцев.

2) Э. п.интегральное преобразование вида

где С - контур в комплексной плоскости с. Предложено Л. Эйлером (L. Euler, 1769).

Э. п, применяется к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям

где Qj(z) - многочлен степени и константа. В таком виде можно представить любое линейное уравнение

где Pj(z) - многочлены степени степень Pn(z) равна n. Уравнение

наз. преобразованием Эйлера уравнения (2), Если w(z)определена формулой (1), причем то справедливо тождество

при условии, что внеинтегральная подстановка, к-рая возникает при интегрировании по частям, обращается в нуль. Отсюда видно, что если M(v)=0, то w(z) - решение уравнения (2).

Э. п. позволяет понизить порядок уравнения (2), если при j>q, q<п. При q=0, q=1уравнение (2) интегрируется (см. Похгаммера уравнение).

Лит.:[1] Aйнс Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Харьков, 1939; [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. г. нем., 5 изд., М., 1976.

М. В. Федорюк.

3) Э. п. 1-го рода интегральное преобразование вида

где комплексные переменные, причем путем интегрирования является отрезок

Э. п. 1-го рода наз. также дробным интегралом Римана Лиувилля порядка m. (Иногда под интегралом Римана Лиувилля понимают интеграл

где а - комплексное число.)

При нек-рых условиях на функции f(x),g(x) имеют место следующие равенства:

-комплексные постоянные,

Э. п. 2-го рода интегральное преобразование вида

где комплексные переменные, причем путем интегрирования является луч или При нек-рых условиях имеют место следующие равенства

комплексные постоянные,

Э. п. 2-го рода иногда наз. дробным интегралом Bейля порядка

Указанные преобразования введены также для обобщенных функций.

Лит.:Брычков Ю. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования обобщенных функций, М., 1977.

Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985