Математическая энциклопедия - гомологическая классификация колец

общее название для результатов, описывающих свойства кольца (обычно, ассоциативного и с единицей) по свойствам тех или иных модулей над ним и, в частности, по свойствам категории всех левых (или правых) модулей над этим кольцом (см. Мориты эквивалентность).

Важнейшие примеры таких результатов следующие.

1) Классич. полупростота кольца равносильна как инъективности всех левых модулей над ним, так и их проективности, а также инъективности всех левых идеалов кольца (см. [1]).

2) Коммутативное локальное нётерово кольцо регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную гомологич. размерность.

3) Регулярность (в смысле Неймана) кольца имеет место в том и только в том случае, когда все модули над ним плоские, т. е. когда кольцо имеет нулевую слабую гомологич. размерность (см. [2]).

4) Проективность всякого плоского левого модуля равносильна условию минимальности для главных правых идеалов (см. Совершенное кольцо).

5) Кольцо нётерово слева тогда и только тогда, когда класс инъективных левых модулей над ним описывается формулами узкого исчисления предикатов на языке теории модулей (см. [4]).

См. также Артиново кольцо, Квазифробениусово кольцо, Когерентное кольцо, Полусовершенное кольцо, С амоинъективное кольцо.

Лит.:[1] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Ламбек И., Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971; [3] Скорняков Л. А "Математички весник", 1967, т. 4, № 4, с. 415-34; [4] Еk1оf P., Sabbagh G., "Ann. Math. Log.", 1971, v. 2, № 3, p. 251-95; [5] Маклейн С., Гомология, пер. с англ., М., 1966. А. В. Михалев, Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985