Математическая энциклопедия - гомотопический тип

топологизированной категории проективная система топологич. пространств, ассоциированная с топологизированной категорией и позволяющая определять гомотопические группы этой категории, группы гомологии и когомологий со значениями в абелевой группе и т. д.

Рассматриваются только локально связные топологизированные категории , т. е. такие категории С, снабженные топологией Гротендика , любой объект к-рых представим в виде копроизведения неразложимых объектов играет роль множества связных компонент топологич. пространства. Множество индексов I определено однозначно с точностью до биекции; оно обозначается . Сопоставление определяет функтор из категории Св категорию множеств. Произвольное покрытие объекта Xв топологии определяет симплициальный объект U. в категории С, для к-рого

и симплициальное множество . Геометрич. реализация симплициального* множества дает топологич. пространство . Для любого измельчения покрытия ( пропускается через ) определено (с точностью до гомотопий) непрерывное отображение . Таким образом, объекту Xсопоставляется проективная система топологич. пространств , где семейство всех покрытий объекта X.

Это определение аналогично определению когомологий Чеха; известно, однако, что в общем случае когомологий Чеха дают "правильные" когомологий только в размерностях 0 и 1. Поэтому приведенная выше конструкция не может считаться удовлетворительной. В [1] введено понятие гиперпокрытия, обобщающее симплициальные объекты U., построенные выше для покрытий . Это снова симплициальный объект K, в топологизированной категории с финальным объектом X, удовлетворяющий условиям: покрытие объекта X;для любого пканонич. морфизм является покрытием, где функтор п- гокоскелета.

Сопоставление каждому гиперпокрытию K, топологич. пространства приводит к проективной системе пространств, параметризованной гиперпокрытиями.

Это и определяет гомотопический тип (а точнее прогомотопический тип) топологизированной категории с финальным объектом X. Группы гомотопий, гомологии и когомологий вводятся стандартным способом.

Г. т. топологизированной категории, ассоциированной со схемой, позволяет определить Г. т. схемы. Наиболее часто рассматривают случай этальной топологии на схеме X. В этом случае Г. т. схемы Xпредставляет собой прообъект категории пунктированных симплициальных множеств или категории конечных клеточных комплексов. Определяемые для таких объектов гомотопические группы являются проконечнымн группами и наз. i-ми гомотопическими группами схемы X(см. [2]). Если X - нормальная схема, то совпадает с фундаментальной группой схемы, определяемой по Гротен-дику [3]. Г. т. точки где поле, совпадает с проективным пределом пространств Эйленберга Маклейна где группа Галуа конечного расширения Галуа поля . В случае алгебраич. многообразий над полем комплексных чисел имеет место теорема сравнения: группы являются проконечным пополнением обычных гомотопич. групп комплексного пространства Х ^ап, ассоциированного с X.

Лит.:[1] Труды международного конгресса математиков (Москва. 1966), М., 1908, с. 44-56; [2] Theorie des Toposes et coliomologie etale des schimas, t. 1-3, B.-Hdlb.-N.Y.,1974; [3] ArtinM., Mazur В., Etale homotopy, B.-Hdlb.N. Y., 1969; [41 Сулляван Д., Геометрическая топология, пер. с англ., М., 1975; [5] Revetements etales et groupe fondamental (S6A1), В.-Hdlb.-N.Y., 1971.

В. И. Данилов, И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985