Математическая энциклопедия - гомологическое многообразие

обобщенное многообразие,локально компактное топологич. пространство, локальная гомологич. структура к-рого аналогична локальной структуре обычных топологнч. многообразий, в том числе многообразий с краем. Более точно, гомологическим n-многообразием (обобщенным n-многообразием) над группой или модулем Gкоэффициентов наз. локально компактное топологич. пространство X, имеющее конечную гомологическую размерность над Gи такое, что все его локальные гомологии группы при тривиальны, а при либо изоморфны G, либо равны нулю. Здесь есть прямой предел групп . взятый по всем окрестностям Uточки', причем под Нпонимается теория гомологии, удовлетворяющая всем Стинрода Эйлен-берга аксиомам, включая аксиому точности; в категории локально стягиваемых пространств теория Н, рассматриваемая с компактными носителями, изоморфна сингулярной (см. Сингулярные гомологии). Группы автоматически оказываются слоями иек-рого пучка (см. Пучков теория), называемого ориентирующим пучком многообразия X. Г. м. Xназ. ориентируемым, если пучок изоморфен постоянному пучку ,илокально ориентируемым, если является локально постоянным в точках, где . Если G - кольцо главных идеалов и все отличны от нуля, то Г. м. над G всегда локально ориентируемо. Если Г. м. над группой Gлокально ориентируемо, то множество всех , в к-рых замкнуто, нигде не плотно и образует край Г. м. X. Локально ориентируемое Г. м. Xимеет те же гомологич. свойства, что и обычные многообразия.

Например, для X верна теорема об инвариантности области, множество нигде не плотно в Xв том и только в том случае, если и т. д.

Для всякого Г. м. над G имеют место естественные изоморфизмы (Пуанкаре двойственность)

(когомологии с коэффициентами в пучке). Здесь р - любое целое число, но гомологич. размерность Г. м. Xнад G равна п, и потому изоморфизмы имеют нетривиальное содержание только при Аналогичные изоморфизмы имеют место для гомологии и когомологии с носителями в любом паракомпактифицирующем семействе (в частности, для гомологии и когомологии с компактными носителями). Условие изоморфизма между ненулевыми слоями пучка и группой G не является существенным. Можно также вместо группы Gрассматривать любой локально постоянный пучок коэффициентов со слоем (при этом изменится).

Любое открытое подмножество является Г. м.; поэтому использование равенств

из к-рых во втором имеет компактное замыкание, а индекс суказывает на компактность носителей, позволяет получать как частные случаи двойственности Пуанкаре изоморфизмы

Сопоставление точных гомологич. и когомологич. последовательностей соответствующих пар позволяет в качестве частных случаев двойственности Пуанкаре рассматривать также изоморфизмы

и

последний из к-рых является обобщением Александера двойственности. Аналогичные соотношения имеют место для гомологии и когомологий с носителями в нек-ром фиксированном семействе. Пусть