Математическая энциклопедия - гомологическая алгебра

раздел алгебры, основным объектом изучения к-рого являются производные функторы на различных категориях алгебраич. объектов (модулей над данным кольцом, пучков и т. д.).

Одним из истоков Г. а. явилась теория гомологии топологич. пространств, в к-рой каждому топологич. пространству X сопоставляется последовательность абеле-вых групп (групп гомологии), а непрерывному отображению пространств набор гомоморфизмов групп гомологии. Каждый га-мерный сингулярный симплекс Ттопологич. пространства Xимеет границу, состоящую из сингулярных симплексов размерности п-1. Если свободная абелева группа, порожденная всеми этими n-мерными симплексами, то функция , к-рая сопоставляет каждому Тальтернированную сумму его граничных симплексов, определяет гомоморфизм так что причем непрерывное отображение пространств индуцирует гомоморфизм соответствующих им комплексов. Некоторые свойства пространства Xили отображения могут быть найдены по свойствам группы гомологии этого комплекса или соответствующих гомоморфизмов этих групп гомологии, что в ряде случаев позволяет свести изучение топологич. объектов к изучению нек-рых алгебраич. объектов, подобно тому, как это делается в аналитич. еометрии (но с той разницей, что переход от геометрии к алгебре в теории гомологии необратим).

В свою очередь, в алгебре в связи с изучением расширений групп фактически рассматривались первая и вторая группы гомологии и когомологий. Значительный подготовительный материал был разработан в теории ассоциативных алгебр, алгебр Ли, теории конечномерных алгебр, теории колец, теории квадратичных форм.

В процессе изучения групп гомологии сложился прежде всего язык Г. а. Появились обозначения отображений с помощью стрелок и коммутативные диаграммы (если в графе отображений два пути, имеющие общие начало и конец, приводят к одному и тому же результату, то такую диаграмму наз. коммутативной). Часто встречались последовательности гомоморфизмов, в к-рых ядро исходящего гомоморфизма совпадало с образом входящего, такие последовательности назвали точными. Стало обычаем задавать математич. объекты одновременно с их отображениями, а наиболее предпочтительными считались соответствия между объектами, сохраняющие отображения, названные функторами. Основные достоинства этого языка информативность, естественность и наглядность, быстро получили признание. Напр., в [5] язык Г. а. был использован для аксиоматич. изложения оснований алгебраич. топологии. В настоящее время язык Г. а. присутствует во многих работах, даже не использующих ее методов.

К середине 40-х гг. 20 в. Г. а. выделяется в самостоятельную область алгебры. Основная сфера применения Г. а.категория модулей над кольцом. Большинство результатов, известных для модулей, переносится на абелевы категории с нек-рыми дополнительными ограничениями (это объясняется тем, что такие категории вкладываются в категорию модулей). Наиболее содержательное расширение области применения Г. а. было осуществлено в [4], где Г. а. была перенесена на произвольные абелевы категории с достаточным запасом инъективных объектов и стала приложимой к арифметической алгебраич. геометрии и теории функций многих переменных (см. Гротендика категория).

Основные функторы Г. а.Ноm (A, В).(группа гомоморфизмов модуля Ав модуль В).и тензорное произведение модулей . Основа теории изучение производных функторов, к-рые строятся, напр., следующим образом. Произвольный модуль Аможет быть представлен как фактормодуль свободного модуля F0, затем рассматривается такое же представление F1 для ядра предыдущего представления и т. д. В результате возникает точная последовательность

Последовательность

где все модули проективны, наз. проективной резольвентой модуля А. Применение к ней ковариантного аддитивного функтора Тдает комплекс, группы гомологии к-рого наз. левыми производными функтора Тн обозначаются . Двойственно (для контравариантного функтора) или, используя инъективные модули и инъективные резольвенты (для ковариантного функтора), строятся правые производные функторы . Производные функторы измеряют в нек-ром смысле отклонение функтора от точности. Они не зависят от произвола построения резольвенты. Каждой точной последовательности

соответствуют две бесконечные точные последовательности производных функторов:

Для производных функторов основных функторов приняты следующие обозначения:

Оба эти функтора являются функторами двух аргументов Аи В, поэтому изложенная конструкция построения производного функтора к ним непосредственно неприменима. В данном случае можно фиксировать один из аргументов и строить резольвенту для другого или, взяв резольвенты для обоих аргументов, можно построить нек-рый двойной комплекс. Все эти построения приводят к одному и тому же результату. Группа изоморфна группе расширений модуля Вс помощью модуля А(и в этом виде давно изучалась). Установление новых связей значительно расширило и продвинуло теорию расширений модулей. Группа сопоставляет каждой группе Аее периодич. часть. Обобщение этого наблюдения привело к общей теории кручения.

В общую схему производных функторов укладывается теория гомологии алгебраич. систем. Напр., пусть групповое кольцо мультипликативной группы Gнад кольцом целых чисел, А - левый, а В - правый -модули. Изучение групп