Математическая энциклопедия - гомологии группа

топологического пространства группа, которая ставится в соответствие топологич. пространству с целью алгебраич. исследования его топологич. свойств; это соответствие должно удовлетворять определенным условиям, важнейшими из к-рых являются Стинрода Эйленберга аксиомы (см. также Гомологии теория). Первоначально Г. г. были построены исходя из идей А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1895) для полиэдров на основе их триангуляции представления в виде симплициального комплекса (см. Гомологии полиэдра). Впоследствии для обобщения понятия гомологии и расширения области ее применения были созданы несколько теорий гомологии произвольных пространств, в к-рых понятие комплекса всегда используется, но в более сложной ситуации, чем в случае триангуляции. Из этих теорий две являются основными: сингулярная и спектральная. Первая строится исходя из отображений полиэдров в данные пространства и преимущественно приложима к вопросам, в к-рых полиэдры отображаются в произвольные пространства, а вторая основана на отображении любых пространств в полиэдры и особенно полезна в приложениях, в которых встречаются такие отображения.

Идея сингулярных гомологии восходит к О. Веблену (О. Veblen, 1921), к-рый в основу определения гомологии пространства положил системы, состоящие из полиэдров, их непрерывных отображений в данное пространство и их гомологии. Эта идея породила две теории. Непосредственное ее развитие привело к группе непрерывных классов гомологии. Более удобной, из-за того что Г. г. определяются из групп цепей, оказалась собственно сингулярная Г. г., определенная С. Лефшецем (S. Lefschetz, 1933) и сводящаяся к отображениям ориентированных симплексов в данное пространство; дальнейшее развитие этой теории привело к рассмотрению упорядоченных симплексов вместо ориентированных (С. Эйленберг, S. Eilenberg, 1944) и к кубич. гомологиям вместо симплексов, использующих кубы (Ж. П. Серр, J. P. Serre, 1951). Все указанные разновидности сингулярных Г. г. изоморфны между собой при очень общих условиях.

Спектральные гомологии, основанные на гомологиях нервов покрытий пространства, связанных в спектр естественными симплициальными отрбражениями нервов, введены П. С. Александровым (1925 28), рассматривавшим сначала компактные метрич. пространства и последовательности нервов конечных покрытий. Эта теория была распространена на произвольные пространства при помощи произвольных систем нервов открытых покрытий Э. Чехом ( ), к-рый также опирался на конечные покрытия, что в случае некомпактных пространств не всегда пригодно.

Поэтому с середины 40-х гг. стали пользоваться бесконечными покрытиями. Введенная Г. г. наз. группой Александрова Чеха (см. Александрова Чеха гомологии и ко-гомологии). Другое определение Г. г. для компактных ыетрич. пространств, основанное на предельных процессах, дано Л. Вьеторнсом (L. Vietoris, 1927) (см. Вьеториса гомологии). Для произвольных пространств определение группы гомологии Вьеториса опирается на рассмотрение вложенных друг в друга комплексов покрытий (так наз. вьеторисианов), симплексами к-рых являются конечные системы точек пространства, принадлежащие одному и тому же элементу покрытия. В 1935 А. Н. Колмогоровым и Дж. Александе-ром (J. Alexander) независимо было дано построение групп когомологии, основанное на коцепях, являющихся функциями упорядоченных совокупностей точек пространства. А. Н. Колмогоровым было дано и построение Г. г., основанное на функциях множеств и двойственное предыдущему; эта Г. г. при любой группе коэффициентов изоморфна группе гомологии Стинрода (см. Стинрода двойственность), а при компактной группе коэффициентов группе гомологии Александрова Чеха. Группа гомологии Александрова Чеха и группа гомологии Вьеториса изоморфны. Группа гомологии Вьеториса и группа когомологии Александера Колмогорова, являясь обратным л прямым пределами соответственно двойственных спектров, заданных на одном и том же спектре вьеторисиаиов, двойственны одна другой. Смотря по тому, какие берутся Г. г. на нервах и вьеторисианах при построении соответствующих спектральных Г. г., получают две их разновидности проекционную и спектровую. В проекционном случае за указанные группы берутся Г. г. цепного комплекса, являющегося пределом цепных комплексов конечных подкомплексов нервов и, соответственно, вьеторисианов, в спектровом случае пределы Г. г. указанных подкомплексов; в случае дискретной группы коэффициентов эти группы изоморфны; для групп когомологии двойственно.

Сингулярная и спектральная теории изоморфны в случае паракомпактных, хаусдорфовых, гомологически локально связных пространств; последнее означает, что для данной окрестности каждой точки найдется меньшая окрестность, образ сингулярной Г. г. к-рой в Г. г. данной окрестности при гомоморфизме вложения тривиален (для целочисленных Г. г. всех размерностей; в случае размерности 0 имеются в виду приведенные группы); иначе говоря, это означает, что каждая точка жестко вложена в пространство. Такими являются, напр., локально стягиваемые пространства, в частности полиэдры.

Свойства, отличающие эти теории друг от друга следующие. Сингулярная (но не спектральная) теория обладает свойством точности гомологич. последовательности и является гомологией с компактными носителями. Спектральная теория гомологии точна в случае, когда она задана на категории компактных пар пространств и когда группа коэффициентов компактна. Она и была разработана впервые именно в этом случае. Спектральная (но не сингулярная) теория обладает свойством непрерывности, т. е. если данная компактная пара является обратным пределом спектра нек-рых компактных пар, то Г. г. данной пары есть предел спектра Г. г. этих пар, и свойством жесткости, т. е. Г. г. подпространства предел спектра Г. г. его окрестностей. Эти теории отличаются также по свойствам вырезания. Сингулярная теория является единственной гомологич. теорией с данной группой коэффициентов на категории СW - комплек-сов со свойством аддитивности, состоящем в том, что Г. г. топологич. суммы пространств есть прямая сумма Г. г. слагаемых. Спектральная теория единственная частично точная теория гомологии на категории компактных пар со свойством непрерывности.

Из многочисленных других Г. г. и групп когомологии и их обобщений следует указать на экстраординарные теории Г. г., к-рые строятся методами гомологич. алгебры, Г. г. и когомологии с коэффициентами в пучках, гомологии с локальными коэффициентами, Г. г. спектрального типа, обладающие точной гомологич. последовательностью, Г. г. по модулю различных особых подпространств.

Лит.:[1] Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [2] Хилтон П.-Дж., Уайли С., Теория гомологии. Введение в алгебраическую топологию, пер. с англ., М., 1966; [3] Алекеандров П. С., "Матем. сб.", 1947, т. 21, в. 2, с. 161 232; [4] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1942, т. 6, с. 227-82; [5] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [6] Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [7] Вrеdоn G., Theory of sheaves, N.-Y., 1970; [8] Телеман К., Элементы топологии и дифференцируемые многообразия, пер. с нем., М., 1967; [9] Switzer R., Algebraic Topology Homotopy and HomoloBy, В., 1975. Г. С. Чогошвили.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985