Математическая энциклопедия - гомологическое опоясывание

метод, позволяющий характеризовать размерность компакта, лежащего в евклидовом пространстве , в терминах метрич. свойств дополнительного пространства. Назовем мерой существенности цикла z компакта верхнюю грань тех , для к-рых можно подобрать такой компактный носитель цикла z, что цикл не гомологичен нулю в . Назовем р-мерным гомологическим поперечником цикла zоткрытого множества нижнюю грань р-мерных поперечников тел всех циклов, гомологичных в Г циклу z. Здесь под р-м ерным поперечником компакта понимается нижняя грань тех , для к-рых существует непрерывный -сдвиг компакта. Xв р-мерный компакт (и потому полиэдр).

Всякий ( п-1)-мерный цикл открытого множества , зацепленный с каждой точкой компакта Ф, наз. мешком вокруг компакта Ф.

Теорема о мешках. Пусть Тогда существует такое , что всякий мешок вокруг компакта Ф имеет (r-1)-мерный гомологич. поперечник, больший , тогда как r-мерный гомологич. поперечник любого цикла в Г равен нулю. При этом всегда имеются мешки вокруг Ф со сколь угодно малой мерой существенности. Если же , то существует такое , что для всякого мешка вокруг Ф выполняется (при этом и для всех мешков ).

Теорема о мешках может быть еще более усилена с помощью понятия пояса вокруг компакта.

Теорема о поясах. Пусть компакт размерности r. Существует такое что для любого и любого в имеется -мерный цикл v(пояс размерности п k вокруг Ф), при k>l ограничивающий в Г, для к-рого и, кроме того, для всякого цикла w, гомологичного циклу в -окрестности последнего относительно Г имеет место ; для всякой цепи х, ограниченной циклом в , имеет место

С другой стороны, если и то при любом всякий -мерный цикл z в Г, для к-рого , гомологичен в своей -окрестности (относительно Г) нек-рому циклу со сколь угодно малым . Далее, если и то при произвольном всякий -мерный цикл z, ограничивающий в Г, для к-рого (и при -1), ограничивает в Г цепь хс . Здесь через , , обозначена нижняя грань тех , для к-рых существует -сдвиг вершин цепи х, посредством к-рого цепь хвырождается до размерности р;через ix обозначена нижняя грань тех , для к-рых существует -сдвиг вершин х, переводящий хв нулевую цепь.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975. А. А. Мальцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985