Математическая энциклопедия - гомеоморфизмов группа

группа гомеоморфных отображений топология, пространства X на себя. Если X - компактное многообразие, то алгебраич. свойства группы , а именно, структура ее нормальных делителей, определяют X с точностью до гомеоморфизма (см. [1]). В частности, при известно, что группа есть простая группа. Это верно также для канторова множества, кривой Мен-гера, кривой Серпинского, множеств рациональных и иррациональных точек на прямой [2]. Для многообразия Мминимальным нормальным делителем в служит подгруппа, порожденная гомеоморфизмами, тождественными вне областей М.

Группа может быть топологизирована различным образом (сы. Пространства отображений). Основное значение имеют бикомпактно открытая топология и (если Xметризуемо) тонкая -топология, в к-рой окрестности тождества задаются строго положительными функциями причем входит в , если для всех х, где метрика в . Однако группа не обязана быть топологической группой в этих топологиях, так как отображение не всегда непрерывно, и даже если это так, то может не быть топологич. группой преобразований, т. е. отображение может быть разрывным (см. [3]). Но если Xмногообразие, то является топологич. группой преобразований в обеих указанных топологиях. Изучение топологич. свойств группы представляет интерес, в первую очередь, для однородного пространства X, т. е. такого, что действие группы на Xтранзитивно. Однако такое изучение проведено далеко не полностью даже для простых многообразий. Неизвестно, напр, (к 1977), будет ли бесконечномерным многообразием, хотя оно будет (для метризуемого многообразия) локально стягиваемым в тонкой -топологии (см. [4]). В частности, два достаточно близких гомеоморфизма соединимы изотопией. Для открытых многообразий, к-рые являются внутренностью компактных многообразий, это верно также и в бикомпактно открытой топологии.

Факторгруппа группы по компоненте тождества наз. группой гомеотопий пространства X. Вообще говоря, не совпадает с Г. г., гомотопных тождеству, но это так для двумерных и нек-рых трехмерных многообразий (напр., для и др.). Гомотопич. свойства изучены для двумерных многообразий, что оказалось полезным для установления гомологич. свойств групп кос (см. Кос теория).

Особое значение в топологии многообразий имеет изучение нек-рых подгрупп группы , напр, подгруппы диффеоморфизмов. Это изучение затруднено тем, что подгруппы оказываются незамкнутыми, и топология факторпространств неудовлетворительна. Ввиду этого рассматривают полусимплнциадьные группы (ss-группы) Тор n, в к-рых k-мерными симплексами служат послойные гомеоморфизмы , неподвижные на нулевом сечении (где стандартный k- симплекс).

Граничные гомеоморфизмы и вырождения определяются с помощью стандартных отображений Аналогично определяются ss-моноид (гомотопич. эквивалентностей кусочно линейных, гладких и ортогональных отображений ), причем

и факторы и т. д. обладают естественными структурами ss-комплексов, что позволяет проводить изучение гомотопич. свойств этих вложений.

Изучение различных подгрупп для многообразий Мсоставляет предмет ряда дисциплин. В частности, изучение Г. г., сохраняющих определенные структуры, относится к соответствующим разделам математики. Большой интерес представляют алгебраич. задачи, связанные с группами автоморфизмов деревьев и других графов.

Лит.:[1] Whittaker J. V., "Ann. Math.", 1963, т. 78, №1,p. 74-91; [2] Anderson R. D., "Amer. J. Math.", 1958, v. 80, № 4, p. 955-63; [3] Arens R. F., "Amer. J. Math.", 1946, v. 68, № 4, p. 593-610; [4] Чернавский А. В., "Матем. сб.", 1969, т. 79, № 3, с. 307-56.

А. В. Чернавский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985