Математическая энциклопедия - кардано формула

формула для отыскания корней кубического уравнения над полем комплексных чисел

К такому виду может быть приведено любое кубич. уравнение. К. ф. для уравнения (1) имеет вид:

Применяя эту формулу, нужно для каждого из трех значений кубич. корня

брать то значение корня

для к-рого выполняется условие ab=-р/3 (такое значение корня b всегда существует). В К. ф. числа ри qлюбые комплексные. В случае действительных коэффициентов ри qсвойство корней уравнения быть действительными или мнимыми зависит от знака дискриминанта уравнения

При D>0 все три корня уравнения действительны и различны. Но по К. ф. корни выражаются через кубич. радикалы с мнимыми подкоренными выражениями. Хотя в этом случае как коэффициенты, так и корни действительны, корни не могут быть выражены через коэффициенты при помощи радикалов из действительных чисел, ввиду чего данный случай получил название неприводимого. При D = 0 все корни действительны, причем при ри q, отличных от нуля, имеется один двукратный и один однократный корень, а при р=q=0один трехкратный корень. При D<0 все три корня различны, причем один корень является действительным, а два других сопряженными мнимыми числами.

К. ф. названа по имени Дж. Кардано (G. Cardano), впервые опубликовавшего ее в 1545.

Лит.:[1] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975.

И. В. Проскуряков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985