Математическая энциклопедия - картана метод внешних форм

дифференциально-алгебраический метод исследования систем дифференциальных уравнений и многообразий с различными структурами. Алгебраич. основу метода составляет алгебра Грассмана. Пусть Vесть 2ⁿ -мерное векторное пространство над произвольным полем Кс базисными векторами е ⁰, е ⁱ, е ^ij, е ^ijk, ..., е ^12...n, i<j<k. Кроме векторов базиса для произвольного натурального числа q, определяются векторы е ^i1i2....iq ,i1 i2,.. ., iq=1, 2,. .., n, по следующему закону: если среди натуральных чисел i1, i2,. .., iq есть хотя бы одна пара одинаковых, то е ^i1...iq=0; если все числа i1, ..., iq попарно различны и числа j1<j2<...<jq являются перестановкой чисел i1, i2,..., iq, то когда подстановка (ik)+(j)k -четная, и е ^i1....iq=- е ^j1....jq, когда эта подстановка нечетная. В векторном пространстве Vвводится внешнее умножение:

при этом требуется выполнение обычных для гиперкомплексной системы (алгебры) законов. Построенная алгебра ранга 2" наз. алгеброй Грассмана. Вектор

наз. мономом степени р,. Сумма мономов одинаковой степени р>1 наз. внешней формой степени р;сумма мономов первой степени наз. линейной формой. Элементы поля Кявляются, по определению, формами нулевой степени. Векторы е ⁱ и любые пих линейно независимых комбинаций

образуют линейный базис алгебры Грассмана. Здесь и в дальнейшем по одинаковым индексам, встречающимся один раз снизу и один раз сверху, производится суммирование в соответствующих пределах.

Алгебраической производной 1-го порядка от внешней формы

степени рпо символу е ⁱ наз. форма степени р-1, к-рая получается из формы Wp заменой нулем всех мономов, не содержащих символа е ⁱ, и заменой единицей символа е ⁱ в остальных мономах после перенесения символа е ⁱ на первое место с соблюдением закона антикоммутативности при каждой последовательной перестановке. Ассоциированной системой линейных форм внешней формы Wp наз. совокупность всех ненулевых алгебраических производных (р-1)-го порядка от формы Wp. Рангом внешней формы Wp наз. ранг ее ассоциированной системы. Он совпадает с минимальным числом линейных форм, через к-рые, используя операцию внешнего умножения, можно выразить форму Wp. Для исследования системы дифференциальных уравнений в Rⁿ используется дифференциальная алгебра Грассмана, когда в качестве Крассматриьается множество аналитич. функций от пдействительных переменных х ⁱ, определенных в нек-рой области пространства Rⁿ, а векторы е ⁱ обозначаются символами dxⁱ. Линейные формы в ней наз. 1-формами, или формами Пфаффа. В них символы dxⁱ являются дифференциалами переменных х ⁱ. Внешние формы степени р>1 наз. р-формами, или внешними дифференциальными формами степени р. Внешним дифференциалом р-формы

наз. (р+1)-форма

Внешнее дифференцирование обладает следующими свойствами:

где произвольные р-формы, a Wq произвольная q-форма.

Форма Пфаффа w= aidxⁱ тогда и только тогда является полным дифференциалом нек-рой функции f, когда ее внешний дифференциал равен нулю. Пусть

произвольная система линейно независимых уравнений Пфаффа cm независимыми переменными х ^а и r неизвестными функциями z^p. Система Dq^a=0 наз. замыканием системы (1). Замыкание наз,. чистым замыканием (обозначается если в нем алгебраически учтена исходная система (1), то есть если в квадратичные формы Dq^a. подставлены значения dz^a из уравнений (1). Система q^a=0, Dq^a=0 или эквивалентная ей система q^a = 0,наз. замкнутой системой. Система (1) тогда и только тогда вполне интегрируема, когда Приравнивая нулю алгебраические производные от по dx^a и dz^x a=l, . .., т,x=s+l, ..., r, и присоединяя уравнения Пфаффа к исходной системе (1), получают вполне интегрируемую систему уравнений, к-рая наз. характеристической системой системы (1). Множество ее независимых первых интегралов образует наименьшую совокупность переменных, через к-рые можно выразить все уравнения системы (1). Пусть результат подстановки в алгебраич. производную вместо dx^a, dz^x. произвольных переменных h=i, 2,..., т-1. С системой (1) ассоциируется последовательность матриц

Числа

наз. характерами, число

Q=s1 +2s2 +... + msm

наз. числом Картана системы (1). Присоединяя к замкнутой системе q^a=О, уравнения dzx= где новые неизвестные функции, получают первое продолжение системы (1). Пусть Nчисло функционально независимых функций из всегда Если N=Q, то система (1) в инволюции и ее общее решение зависит от sm произвольных функций т аргументов, sm-1 функций т-1 аргумента, и т. д., s1 функций одного аргумента и sпроизвольных постоянных. Если же N<Q, то систему (1) надо продолжать, причем в результате конечного числа продолжений получается либо система в инволюции, либо противоречивая система.

Пусть, напр., имеется система

dz1 = udx+x² dy, dz2 = udy+у ²dx

с независимыми переменными х, у и неизвестными функциями u, z1, z2 (s=2, m=2, r=3). Чистое замыкание ее имеет вид:

Для этой системы:

Система не находится в инволюции. Продолженная система

dz1 = и dx+x² dy, dz2 = u dy+у ² dx, du = 2(y dx+x dy )вполне интегрируема и ее общее решение имеет вид:

u = 2xy+c1,z1 = x(xу + с 1)+с 2, z2 = у( ху+ с 1) + с 3,

где c1, c2, с 3произвольные постоянные.

Использование К. м. в. ф. значительно упрощает формулировки и доказательства многих теорем математики и теоретич. механики. Напр., теорема Остроградского записывается формулой

где Маналитическое ориентируемое (m+1)-мерное многообразие, Г его m-мерная гладкая граница, W m-форма, а DWее внешний дифференциал. Формула замены переменных в кратном интеграле

при отображении р: определенном формулами xⁱ= jⁱ (u¹, u²,..., и ^п), где D,получается непосредственной заменой переменных х ⁱ и их дифференциалов Так как

то

К. м. в. ф. широко применяется при исследовании многообразий с различными структурами. Пусть Мдифференцируемое многообразие класса F=множество дифференцируемых функций на

М, D¹множество всех векторных полей на М, Usмножество кососимметричных F-полилинейных отображений модуля D¹...D¹(sраз,натуральное число).

Пусть = F, а через U обозначена прямая сумма F- модулей