Математическая энциклопедия - картана подгруппа

группы G максимальная нильпотентная подгруппа Св G, всякий нормальный делитель конечного индекса к-рой является подгруппой конечного индекса в своем нормализаторе в G. Если G связная линейная алгебраич. группа над полем характеристики 0, то К. п. в Gмогут быть определены и как замкнутые связные подгруппы, алгебры Ли к-рых являются Картана подалгебрами алгебры Ли группы G. Примером К. п. может служить подгруппа Dвсех диагональных матриц в группе GLn(k)всех невырожденных матриц.

В связной линейной алгебраич. группе GК. п. может быть определена также как централизатор максимального тора группы Gили как связная замкнутая нильпотентная подгруппа, совпадающая со связной компонентой единицы своего нормализатора в G. Множества Cs и С u всех полупростых и ушшотентных элементов в С(см. Жордана разложение )являются замкнутыми подгруппами в С и С= С s С и. При этом С sединственный максимальный тор группы G, лежащий в С. Размерность К. п. группы Gназ. рангом группы G. Объединение всех К. п. группы Gсодержит открытое в топологии Зариского подмножество в G(но, вообще говоря, не совпадает с G). Всякий-полупростой элемент в Gлежит по крайней мере в одной К. п., а всякий регулярный элемент ровно в одной К. п. Если j :сюръективный морфизм линейных алгебраич. групп, то К. п. в С образы К. п. в G относительно j. Любые две К. п. в Gсопряжены.

Пусть группа Gопределена над полем k, тогда в Gсуществует К. п., также определенная над k, более того, Gпорождается своими К. п., определенными над к. Две определенные над кК. п. в Gмогут быть и не сопряжены над k(но в случае, когда G разрешима, они сопряжены). Многообразие К. п. группы G рационально над к. К. п. связной полупростой (или, более общо, редуктивной) группы G является максимальным тором в G.

Пусть G-связная вещественная группа Ли с алгеброй Ли д. Тогда К. п. группы G замкнуты в G (но не обязательно связны) и их алгебрами Ли являются подалгебры Картана алгебры д. Если G аналитич. одгруппа в GLn(R), а -наименьшая содержащая Gалгебраич. подгруппа в GLn(R), то К. п. в G являются пересечениями G с К. п. в В случае, когда G компактна, К. п. связны, абелевы (являются максимальными торами) и сопряжены между собой, а всякий элемент в Gлежит в нек-рой К. п.

Лит.:[1] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958; [2] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [3] Борель А., Тите Ж., "Математика", 1967, т. 11, Л" 1, с. 43-111; № 2, с. 3-31; [4] Demazure M., Grothendieck A., Schemas en groupes, Seminaire de geometrie algebrique, P., 1964.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985