Математическая энциклопедия - картографии математические задачи

задачи, возникающие при построении математич. основы географических и специальных карт, именно, при разработке теории картографических проекций, исследовании их свойств, преобразований, методов изысканий и др. Поверхность Земли при этом принимают либо за сферу, либо за эллипсоид вращения.

Основным объектом изучения в математич. картографии является картографич. проекция: отображение на плоскости всей поверхности земного эллипсоида (шара) или какой-либо ее части:

где иширота, vдолгота точки (Д односвязная область эллипсоида); х, у определяют на плоскости точку Qизображение точки Dобласть изображения Д. Функции f1 и f2 удовлетворяют следующим условиям: они однозначные, дважды непрерывно дифференцируемые, имеют якобиан h= д( х, у)/д( и, v)0 (для сохраняющих ориентацию отображений, используемых в геодезии и картографии, h>0). Большинство фактов математич. картографии относится не только к отображениям эллипсоида на плоскость, но и к отображениям произвольных поверх-

ностей, поэтому далее под картография, проекцией (1) понимается отображение на где

любые регулярные поверхности; D и Dодносвязные области. Выбор для целей отображения таких координат, кроме простоты записи в них линейного элемента поверхности и выгоды их использования при последующих вычислениях, обусловлен еще и тем, что переход к ним от произвольных криволинейных координат на поверхности непосредственно доставляет конформное отображение поверхности на плоскость (см. [6], [3]). Эти координаты даже на произвольной поверхности наз. иногда картографическими координатами (см. [9]); в геодезии и картографии их наз. изометрическими координатами.

Знание уравнений (1) отображения S1 на S2 позволяет изучить метрич. свойства отображения (см. [7], [2]), т. е. найти его характеристики: масштаб отображения m=ds/ds, причем m= m(u, v;a), и, в частности, масштабы по направлениям координатных линий m=m|v=const, n=m|u = const

поворот y изображения в направлении линии ии его поворот cв направлении линии v:

угол q между образами параметрич. линий:

искажение этого угла:

масштаб площади:

наибольшее искажение углов:

и др. Большое значение имеют главные масштабы a=mmax и b=emin, связанные с т, п,q теоремами Аполлония:

и соответствующие им главные направления, ортогональные как на S1 (tg 2a0=2f/(e-g), где

так и на S2 С указанной сетью Тиссо на S2 связывается индикатриса отображения эллипс искажений {а, b, А 0, y}, трактуемый в касательной плоскости к S2 в точке Qкак эллипс, подобный и подобно расположенный тому бесконечно малому эллипсу (главной части отображения), к-рый является с точностью до о(r) изображением окружности бесконечно малого радиуса р, взятой в касательной плоскости к S1 в точке Р. Из приведенных характеристик, выраженных через коэффициенты первых квадратичных форм взаимно отображаемых поверхностей (2) и частные производные 1-го порядка отображающих функций (1), независимы только четыре. Выбор групп независимых характеристик неоднозначен, и вместо {а, b, А 0,y)} часто берут {т, п,y, q}.

По характеру искажений среди картографич. проекций выделяют следующие проекции: а) конформные, или равноугольные ( т=п,9=p/2); б) эквивалентные, или равновеликие (р= 1); в) эквидистантные, или равнопромежуточные (а=1, или b=1); г) геодезические, в картографии наз. ортодромическими (ортодрома геодезическая на сфере), при к-рых геодезические на S1 переходят в геодезические на S2;и др. Построение проекций, обладающих объединением хотя бы двух из перечисленных свойств а) г), возможно только при отображении поверхности на изометричные ей поверхности и в нек-рых других тривиальных случаях. Так как условия конформности и эквивалентности для целей картографии не совместимы, то для нее особое значение имеют проекции эквидистантные, к-рые по характеру искажений занимают промежуточное место между отображениями а) и б). Выделение отдельных совокупностей картографич. проекций делают обычно указанием присущих им свойств, напр. вида а) в), т. е. заданием их уравнениями в характеристиках, к-рые с учетом формул теории искажений легко преобразуются в уравнения с частными производными 1-го порядка. Множество решений конкретной системы двух таких уравнений описывает определенный класс проекций. По типу этих уравнений проекциям приписывают соответствующий тип (эллиптический, гиперболический и т. д.).

Использование в картографии приведенных выше формул теории искажений позволяет выполнить выбор нужной для конкретной цели проекции: установив каким-либо образом уравнения проекции (1) (напр., задав на плоскости общий вид изображения координатных линий эллипсоида и, возможно, использовав при этом нек-рые дополнительные условия конформности, эквивалентности и др.), можно на основании этих формул исследовать отображение и, варьируя его параметрами, подобрать наиболее подходящую проекцию для картографирования заданной Кроме такого решения прямой задачи, в ней используются и иные методы (геометрические, графоаналитические и др.). В обратных задачах картографии проекции изыскивают на основе априорного задания искажений в них (см. [11]). При этом первоочередное значение имеет вопрос существования требуемых проекций. Ответ на этот вопрос дает основная система уравнений в теории отображения поверхностей (см. [4]):

в к-рой

При отображении поверхности на плоскость: l2( х, у)=1, при отображении плоских областей друг на друга также и l1(u, v)=1. Система (3)недоопределенная: двумя ее уравнениями связаны четыре независимые характеристики отображения; различные способы доопределения и интерпретации системы дают возможности разнообразным ее приложениям. Система (3) квазилинейная относительно любой пары характеристик. Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Характеристики m, п,y, q отображения области на область осуществляемого однозначными дважды непрерывно дифференцируемыми функциями (1) с якобианом, сохраняющим знак в области Д, удовлетворяют во всех точках этой области системе (3).

Теорема 2. Пусть выделена односвязная область D данной регулярной поверхности и пусть в области D заданы четыре функции ji=ji(u, v), непрерывные в D вместе со своими частными производными 1-го порядка и принимающие значения из любой односвязной области П, принадлежащей 4-мерному параллелепипеду

Если эти функции принять за характеристики нек-рого отображения на плоскость

и если они удовлетворяют в D системе (3), то восстанавливаемое по ним отображение на нек-рую область D" плоскости хОу гомеоморфно, дважды непрерывно дифференцируемо, имеет в D якобиан h>0 и переводит любую точку в заданную точку ( х 0, у 0 )плоскости ху.

Теорема 2 дает при заданном распределении характеристик условия существования отображений односвязной области D поверхности Sl на нек-рую область Dплоскости S2 при соответствии одной внутренней точки (u0, v0 )своему изображению ( х 0, у 0 )на плоскости; граница области Dпри этом неизвестна. Незнание области изображения характерно для К. м. з.: она либо определяется после установления отображающих функций (1), либо должна быть найдена на основе дополнительных условий, напр, условий минимизации искажений в проекции.

При отображениях сферы на плоскость система (3) переходит в так наз. систему Эйлера Урмаева (см. [5], [11]), а при отображениях плоских областей, когда система (3) доопределена записанной в характеристиках системой уравнений отображения, она дает как следствие производную систему квазиконформных отображений (см. [12]). Сведение отображений поверхностей к квазиконформным отображениям плоских областей (с ограниченным искажением) вполне естественно, и первые, т. е. отображения (1) заданной области на заданную область , могут интерпретироваться как "тройная" проекция: область конформно отображается на область А плоскости uv, область конформно отображается на область Dплоскости хОу, область А плоскости uOv квазиконформно преобразуется в область Dплоскости 'хОу. Квазиконформное отображение плоских областей на сопутствующее отображению на имеет следующие характеристики: V=m*,a=y, W=n*sin 0, угол q имеет тот же смысл, что и выше. Связь рассматриваемых изображений дала возможность (см. [4]) использовать в К. м. з. теорию квазиконформных отображении плоских областей. При этом систему уравнений любого класса картографич. проекций или, более общо, всякую нелинейную систему дифференциальных уравнений вида

после ее записи в характеристиках

удается редуцировать к квазилинейной системе, к-рая следует из системы (3) после ее доопределения системой (5) и к-рая трактуется как производная система исходной системы (4). При этом, однако, остается открытым вопрос о соотношении типов этих двух систем: исходной и производной.

Аппарат квазиконформных отображений плоских областей (с двумя парами характеристик) может быть привлечен также в качестве теоретич. основы приборного (с использованием механич.. оптич., электронных и других устройств) преобразования картографич. проекций, точнее, преобразования двух заданных односвязных плоских областей друг в друга, каждая из к-рых является результатом картографирования одной и той же области земного эллипсоида, но в различных проекциях.

Одной из основных задач картографии (в области создания мелкомасштабных и частично среднемасштабных карт) является проблема наивыгоднейших картографич. проекций, т. е. таких отображений заданной области Л поверхности Sна плоскость, в к-рых искажения (в нек-ром заранее оговоренном смысле) сведены к минимуму (см. [2]). Наиболее распространенными критериями достоинств картографич. проекций являются следующие:

критерий Эйри:

критерий Иордана:

критерий Эйри Каврайского:

критерий Иордана Каврайского:

причем все они суть вариационного типа, и

критерий Чебышева критерий минимаксного типа, согласно к-рому качества проекции оцениваются либо величиной