Математическая энциклопедия - карлемана теорема

1) К. т. о квазианалитических классах функций необходимое и достаточное условие квазианалитичности в смысле Адамара. найденное Т. Карлеманом [1] (см. также [5]). Класс K действительных функций f(x), бесконечно дифференцируемых на отрезке [ а, b], наз. кваз и аналитическим в смысле Адамара, если из равенств fⁿ (с) = 0, п=0,1,. . ., в какой-либо точке с, а<с<b, следует, что f(x)=0. Формулировка теоремы: класс Кквазианалитическии тогда и только тогда, когда

где

А(f) константа, а последовательность {an} удовлетворяет одному из равносильных условий:

где

В теории квазианалитич. классов функций это один из первых законченных результатов. Квазианалитич. классы, определяемые условиями (1), (2), часто наз. классами Карлемана.

2) К. т. об условиях определенности проблемы моментов: если последовательность положительных чисел sn, n=0, 1,. .., удовлетворяет условию

то проблема моментов

является определенной. Это означает, что существует неубывающая функция s(t),для к-рой выполняются равенства (3), единственная с точностью до прибавления любой функции, постоянной в окрестности каждой точки ее непрерывности. Теорема установлена Т. Карлеманом (см. [1], [2]).

3) К. т. о равномерном приближении целыми функциями: если f(х) любая непрерывная функция на действительной оси, а e(r), положительная непрерывная функция, сколь угодно быстро убывающая при то существует целая функция g(z) комплексного переменного z=x+iy такая, что

Эта теорема, установленная Т. Карлеманом [3], явилась исходным пунктом исследований по приближениям целыми функциями. В частности, континуум Ена плоскости z наз. континуумом Карлемана, если для любой непрерывной на Екомплексной функции f(z)и произвольно быстро убывающей при r стремящимся к беск. положительной функции e(r), нижняя грань к-рой на любом конечном интервале положительна, существует целая функция g(z), удовлетворяющая неравенству

Необходимые и достаточные условия, при к-рых замкнутое множество Еявляется континуумом Карлемана, получены в теореме Келдыша-Лаврентьева (см. [6]). Напр., континуумом Карлемана является замкнутое множество, составленное из лучей вида

4) К. т. о приближении аналитических функций полиномами в среднем по площади области: пусть Dконечная область на плоскости комплексного переменного z= x+iy, ограниченная жордановой кривой Г, и пусть f(z) регулярная аналитич. функция в Dтакая, что

тогда для любого числа e>0 найдется такой полином

Р(z), что

Этот результат установлен Т. Карлеманом [4]. Аналогичное утверждение верно и для случая приближения с любым положительным непрерывным весом, причем граница Г может быть и более общей природы. Система степеней {zⁿ},n=0, 1,..., полна относительно любого такого веса. Ортогонализация и нормирование этой системы дает полиномы Pn(z)степеней и, часто наз. полиномами Карлемана.

Лит.:[1] Carleman Т., Les fonctions quasi-analytiques, P., 1926; [2] его же, Sur les equations integrates singulieres anoyau reel et symetrique, Uppsala, 1923; [3] eго же, "Arkiv mat., astron., fys.", 1927, Bd 20, №; [4] его же, там же, 1922, Bd 17, Ml 9; [5] Mандельбройт С, Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения, пер. с франц., М., 1955; [6] Мергелян С. Н., "Успехи матем. наук", 1952, т. 7, в. 2, с. 31 -122.

Е. Д. Соло.