Математическая энциклопедия - картана подалгебра

конечномерной алгебры Ли g над полем k нильпотентная подалгебра в совпадающая со своим нормализатором в Напр., если алгебра Ли всех комплексных квадратных матриц фиксированного порядка, то подалгебра всех диагональных матриц является К. п. в g. К. п. может быть определена также как нильпотентная подалгебра t в g, совпадающая со своей фиттинговой нуль-к омпонентой

где ad обозначает присоединенное представление g. Пусть, далее, характеристика кравна 0. Для произвольного регулярного элемента множество n( Х,ft) всех элементов из ft, аннулируемых степенями оператора ad X, является К. п. в g и всякая К. п. в g имеет вид ( Х,ft) для подходящего регулярного элемента X. Всякий регулярный элемент принадлежит одной и только одной К. п. Размерности всех К. п. в Qодинаковы и равны рангу алгебры д. Всякая максимальная нильпотентная подалгебра в g размерности, равной рангу есть К. п. (но не всякая максимальная нильпотентная подалгебра есть К. п.). Образ К. п. при сюръективном гомоморфизме алгебр есть К. п. Если поле k алгебраически замкнуто, то все К. п. в g сопряжены, а точнее, преобразуются друг в друга операторами из алгебраич. группы Dавтоморфизмов алгебры д, алгебра Ли к-рой есть коммутант алгебры ad Д. Если g разрешима, это утверждение справедливо и без предположения об алгебраич. замкнутости к.

Пусть G либо неприводимая алгебраич. линейная группа над k, либо связная группа Ли, и g ее алгебра Ли. Тогда подалгебра t в g будет К. п. в д, если и только если она является алгеброй Ли Картана подгруппы в G.

Пусть g подалгебра алгебры всех эндоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад k,aнаименьшая Ли алгебраическая алгебра в содержащая Тогда, если К. п. в то К. п. в и если t К. п. в g, aнаименьшая алгебраич. подалгебра в содержащая t, то К. п. в и

Если некоторое расширение полей, то подалгебра t в g есть К. п. тогда и только тогда, когда есть К. п. в

Особо важную роль К. п. играют, когда g полупростая алгебра Ли (это было использовано Э. Картаном [1]). В этом случае всякая К. п. t в g абелева и состоит из полупростых элементов (см. Жордана разложение), а ограничение Киллинга формы на t невырождено.

Лит.:[1] Cartan E., Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, P., 1894' [2] Джекобсон H., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [3] Шевалле К., Теория групп Ли, т. 3, пер. с франц., М., 1958; [4] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, пер. с франц., М., 1962.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985