Математическая энциклопедия - ортогонализация

процесс ортогонализации,алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс ортогонализации Шмидта (или Грама Шмидта), при к-ром по линейно независимой системе al,...,ak строится ортогональная система bl,...,bk такая, что каждый вектор bi (i=1,...,k).линейно выражается через al,...,ai то есть bi=, где C=||gij|| верхняя треугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система {bi} была ортонормированной и чтобы диагональные элементы gij матрицы Сбыли положительны; этими условиями система {bi} и матрица Сопределяются однозначно. .

Процесс Грама-Шмидта состоит в следующем. Полагают b1=а 1;если уже построены векторы bl,...,bi то

где

j=1,...,i, найдены из условия ортогональности вектора bi+1 к bl,...,bi. Геометрии, смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор bi+1 является перпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов al,...,ai до конца вектора bi+1. Произведение длин |bi|...|bk| равно объему параллелепипеда, построенного на векторах системы { а i}, как на ребрах. Нормируя полученные векторы bi, получают искомую ортонормированную систему. Явное выражение векторов bi через al,...,ak дает формула

(определитель в правой части следует формально разложить по последнему столбцу). Соответствующая ор-тонормированная система имеет вид

где Г i Грама определитель системы al,...,aj.

Этот процесс применим также и к счетной системе векторов.

Процесс Грама-Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхней треугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай Ивасавы разложения.

Лит.:[1] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; Е2] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975. И. В. Проскуряков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985