Математическая энциклопедия - ортогональное преобразование

линейное преобразование Аевклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. О. п. и только они переводят ор-тонормированный базис в ортонормированный. Необходимым и достаточным условием ортогональности является также равенство А*=А ^-1, где А* - сопряженное, а А ^-1 - обратное линейные преобразования.

В ортонормированием базисе О. п. (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Собственные значения О. п. равны +1, а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Определитель О. п. равен +1 (собственное О. п.) или -1 (несобственное О. п.). В случае евклидовой плоскости всякое собственное О. п. является поворотом, и его матрица в подходящем ортонормированием базисе имеет вид

где j угол поворота, а всякое несобственное О. и. является отражением относительно нек-рой прямой, его матрица в подходящем ортонормированном базисе имеет вид

В трехмерном пространстве всякое собственное О. п. есть поворот вокруг нек-poй оси, а всякое несобственное произведение поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости. В произвольном n-мерном евклидовом пространстве О. п. также сводятся к поворотам и отражениям (см. Вращение).

Множество всех О. п. евклидова пространства образует группу относительно умножения преобразований ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные О. п. образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу). Т. С. Пиголкина.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985