Математическая энциклопедия - ортогонализация системы функций

построение для заданной системы функций {fn (х)}, интегрируемых с квадратом на отрезке [ а, Ъ]функций ортогональной системы {jn(x)} путем применения нек-рого процесса ортогонализации или же путем продолжения функций fn(x).на более длинный интервал [с, d],c<a<b<d.

Применение процесса ортогонализацпи Шмидта к полным системам {fn(x)} всегда приводит к полным ор-тонормированным системам {jn(x)} и при соответствующем выборе последовательности {fn(x)}дает возможность построения систем, обладающих теми или иными хорошими свойствами. Таким путем построена, напр., система Франклина (см. Ортогональная система), являющаяся базисом в С[0, 1] и в L^p[0,1],

О. с. ф. путем продолжения на более длинный интервал впервые рассматривалась И. Шуром (см. [1] с. 84). Он доказал, что для существования ортонормированной в L²[0, 1] системы {jn(x)},jn(x) = fn(x),,0<а<b<1, необходимо и достаточно выполнение условия

где верхняя грань берется по всем {xi}, . Найдены также необходимые и достаточные условия, при выполнении к-рых можно путем такой ортогонализации получить полную ортонормированную систему {jn(x)} (см. [2]).

Нек-рые конструкции ортогонализации продолжением функций даны Д. Б. Меньшовым [3]. Они использовались пси доказательстве теорем о точности условия для сходимости почти всюду ортогональных рядов

Лит.:[1] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [2] Олевский А. М., "Матем. заметки", 1969, т. 6, № 6, с. 737-47; [3] Меньшов Д. Е., "Матем. сб.", 1938, т. 3, с. 103-20; [4] Franklin Ph., "Math. Ann.", 1928, Bd 100, S. 522-29.

А. А. Талалян.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985