Математическая энциклопедия - ортогональность

обобщение понятия перпендикулярности векторов евклидова пространства. Наиболее естественное понятие О. введено в теории гильбертовых пространств. Два элемента хи уиз гильбертова пространства Нназ. ортогональными , если их скалярное произведение равно нулю (( х, у).0). Это понятие О. в том частном случае, когда H евклидово пространство, совпадает с понятием перпендикулярности двух векторов. В терминах этого понятия в любом гильбертовом пространстве верна теорема Пифагора: если элемент равен конечной или счетной сумме попарно ортогональных элементов (счетная сумма понимается в смысле сходимости ряда в метрике пространства Н), то (см. Парсеваля равенство).

Полная счетная система {xi} ортонормировапных векторов сепарабельного гильбертова пространства представляет аналог полной системы попарно ортогональных векторов конечномерного евклидова пространства: любой элемент единственным образом представляется в виде суммы , причем с ixi=( х, xi)xi - проекция элемента хна х i.

В случае функционального пространства L²[a, b]такую роль играют полные ортонормированные системы функций : если , то

в метрике пространства L²[a, b], где

В случае, когда jk(x) ограниченные функции, коэффициенты ck можно определить для любой интегрируемой функции. При этом представляет интерес вопрос о сходимости соответствующего разложения в том или ином смысле (см. Тригонометрическая система, Хаара система). Поэтому для функций термин "О." употребляется в более широком смысле: интегрируемые на отрезке [a, b]функции f(x).и g(x).наз. ортогональными, если

(для существования интеграла обычно требуется, чтобы

множество ограниченных функций).

Существуют также определения О. элементов произвольного действительного нормированного пространства. Одно из них (см. [4]) следующее: элемент хдействительного нормированного пространства Всчитается ортогональным элементу у, если для любого действительного k. В терминах этого понятия установлены нек-рые необходимые и достаточные условия, при к-рых может быть определено скалярное (внутреннее) произведение элементов пространства В(см. [5], [6]).

Лит.: [1]Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [2] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1902; [3] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [4] Вirkhоff G., "Duke Math. J.", 1935, v. l,p. 169-72; [5] James R., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1947, v. 61, p. 265-92; [6] его же, "Bull. Amer. Math. Soc.", 1947, v. 53, p. 559-66. А. А. Талалян.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985