Математическая энциклопедия - ортогонализации метод

метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b с невырожденной матрицей А, основанный на процессе Грама-Шмидта ортогонализации системы векторов.

Если

то исходная система уравнений может быть записана в виде

(ai,y)=0, i = l, 2, ..., n.

Это значит, что решение системы равносильно нахождению вектора у, имеющего единичную последнюю компоненту и ортогонального ко всем векторам ai, i=l,2,..., п. Для этого к системе векторов a1,а 2,..., а n, а n+1, где а n+1=(0,0,...,1), линейно независимой в силу невырожденности матрицы А, применяется процесс ортогонализации, состоящий в построении ортонормированной относительно скалярного произведения ( х, у).системы векторов q1,q2,...,qn+1 по рекуррентным соотношениям

Коэффициенты ci здесь находятся из условия ортогональности vk, векторам q1,q2,...,qk-1 Векторы a1,а 2,...,а п линейно выражаются через q1,q2,...,qn, поэтому вектор qn+1⁼(z1,z2,...zn+1).ортогонален ко всем векторам al,a2,...,а n. При этом невырожденность матрицы Аобеспечивает выполнение . Таким образом,

искомое решение системы.

Описанная схема О. м. хорошо вписывается в общую схему прямых методов решения системы: соотношения равносильны преобразованию матрицы системы в матрицу Ln,Ln-1,...L1 А, где

и тем самым осуществляют факторизацию матрицы системы в виде A = LQ, где L - треугольная, Qунитарная матрицы.

Процесс факторизации матрицы Апо О. м. устойчив к ошибкам округления. Если в при выполнении операции скалярного произведения векторов использовать процедуру накопления с удвоенной точностью, то для факторизации матрицы по О. м. имеет место одна из лучших оценок точности в классе прямых методов. При этом, однако, свойство ортогональности векторов q1,q2,...,qn, то есть унитарности матрицы Q, неустойчиво по отношению к ошибкам округления. Поэтому решение системы, полученное из рекуррентных соотношений , может иметь большую погрешность. Для устранения этого недостатка используются различные методы переортогонализации (см. [1], [2]).

О. м. уступает многим прямым методам по быстродействию.

Лит.:[l] Воеводин В. В., Вычислительные основы линейной алгебры, М., 1977; [2] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975. Г. Д. Ким,

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985