Математическая энциклопедия - ортогональная группа

группа всех линейных преобразований n-мерного векторного пространства Vнад полем k, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V(т. е. таких линейных преобразований j, что Q(jn(v))=Q(v) для любого ). О. г. принадлежит к числу классических групп. Элементы О. г. наз. ортогональными (относительно Q).преобразованиями V, а также автоморфизмами формы Q. Пусть, далее, char (об О. г. над полями характеристики 2 см [l], [7]) и f связанная с Qневырожденная симметрич. билинейная форма на V, определенная формулой

Тогда О. г. состоит в точности из тех линейных преобразований пространства V, к-рые сохраняют f, и обозначается через On(k, f) или (когда ясно о каком поле kи форме f идет речь) просто через О n. Если В - матрица f в каком-либо базисе пространства V, то О. г. может быть отождествлена с группой всех таких (nХn)-матриц Ас коэффициентами в k, что ( -транспонирование).

Описание алгебраич. строения О. г. составляет предмет классич. исследований. Определитель любого элемента из О п равен 1 или -1. Элементы с определителем 1 наз. вращениями; они образуют в О. г. нормальный делитель (или просто ) индекса 2, наз. группой вращений. Элементы из наз. переворачиваниями. Всякое вращение (переворачивание) является произведением четного (нечетного) числа отражений из О п. Пусть Zn - группа всех гомотетий , пространства V. Тогда это центр On он состоит из двух элементов: j1 и jn-1. Если пнечетно, то О п является прямым произведением своего центра и . Центр при тривиален, если пнечетно, и совпадает с центром О п, если п четно. Если же п=2, то группа коммутативна и изоморфна либо мультипликативной группе поля k(в случае, когда индекс Витта v формы f равен 1), либо группе элементов с нормой 1 в поле , где D дискриминант формы f (в случае, когда v=0). Коммутант группы On(k, f) обозначается через Wn(k, f) или просто Wn; он порождается квадратами элементов из О п. При коммутант группы совпадает с Wn. Центр группы Wn имеет вид

Классич. группами, связанными с О. г., являются также канонич. образы и в проективной группе;они обозначаются и (или просто

и ) и изоморфны соответственно и

Основные классич. факты об алгебраич. структуре О. г. относятся к описанию последовательных факторов следующего ряда нормальных делителей в О. г.

Группа имеет порядок 2. Всякий элемент в имеет порядок 2, ввиду чего строение этой группы полностью определяется кардинальным числом ее элементов, к-рое может быть либо бесконечным, либо конечным вида 2^a, а - целое. Описание остальных факторов существенно зависит от того, отличен ли от нуля индекс Витта v формы f.

Пусть сначала . Тогда при Этот изоморфизм определен спинорной нормой, к-рая задает эпиморфизм на с ядром Wn. Группа нетривиальна (и состоит из преобразований j1 и j-1) тогда и только тогда, когда п-четно и Если , то группа проста. Случаи n=3, 4 рассматриваются отдельно. А именно, PW3=W3 изоморфна PSL2(k).(см. Специальная линейная группа).и также проста, если число элементов в А; не равно 3 (группа изоморфна проективной группе PGL2(k)). При v=l группа РW4=W4 изоморфна группе и проста (в этом случае ), а при v=2 группа PW4 изоморфна и не проста. В частном случае, когда и Q - форма сигнатуры (3, 1), группа наз. группой Лоренца.

В случае же, когда v=0 (т. е. Q - анизотропная форма), многие из указанных результатов не верны. Напр., если , a Q - положительно определенная форма, то , хотя состоит из двух элементов; при k=Q, n=4, возможен случай, когда , но . Вообще при v=0 структура О. г. и связанных с ней групп существенно зависит от k. Напр., если k=, то , , , v=0, проста (а изоморфна прямому произведению двух простых групп); если же k - поле р-адических чисел, то при v=0 в O3 (и в 04) существует бесконечный ряд нормальных делителей с абелевыми факторами. Наиболее изучены случаи локально компактного поля и поля алгебраич. чисел. Если k - поле р-адических чисел, то случай v=0 невозможен при . Если же k - поле алгебраич. чисел, то такого ограничения нет и один из основных результатов состоит в том, что РWn при v=0 и n>=5 проста. В этом случае изучение О. г. тесно связано с теорией эквивалентности квадратичных форм, к-рая основывается на рассмотрении форм, полученных из Qпри расширении kдо локальных полей, определенных нормированиями А: (принцип Хассе).

Если k - конечное поле из qэлементов, то О. г. является конечной группой. Порядок при нечетном правен

а при n=2m равен

где при и в противном случае. Указанные формулы вместе с приведенными общими фактами об О. г. при позволяют вычислить также и порядки Wn и PWn, так как при , а порядок равен 2. Группа PWn,, является одной из классических простых конечных групп (см. также Шевалле группа).

Одни из основных результатов об автоморфизмах О. г. состоит в следующем: если , то всякий автоморфизм j группы О п имеет вид , , где фиксированный гомоморфизм О п в ее центр, a g - фиксированное биективное полулинейное отображение V в себя, удовлетворяющее условию для всех , где , а s связанный с gавтоморфизм k. Если и , то всякий автоморфизм индуцирован автоморфизмом Оn (см. Ц], [3]).