Математическая энциклопедия - ортогональные многочлены

в комплексной области общее название многочленов, ортогональных на окружности, по контуру или по площади. В отличие от случая ортогональности в действительной области, многочлены указанных трех систем могут иметь мнимые коэффициенты и рассматриваются при всех комплексных значениях независимого переменного. Характерном особенностью случаев ортогональности в комплексной области является тот факт, что в ряды Фурье по указанным системам разлагаются обычно аналитич. ции комплексного переменного, удовлетворяющие нек-рым дополнительным условиям в окрестности границы области аналитичности.

1) О. м. на окружноcти система многочленов , имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию ортогональности (обычно ортонормированности):

где ограниченная неубывающая на сегменте функция с бесконечным числом точек роста, наз. функцией распределения, а символ Кронекера. Аналогично случаю ортогональности на отрезке, для многочленов имеют место рекуррентное соотношение и аналог формулы Кристоффеля Дарбу.

Асимптотич. свойства исследуются при условии

Случай ортогональности на окружности как периодич. случай изучен достаточно подробно, поскольку здесь успешно применяются результаты о приближении периодических функций тригонометрическими полиномами.

Пусть многочлены ортонормированы на сегменте [-1, 1] с дифференциальным весом h(x),a весовая функция на окружности имеет вид

Тогда при условии имеет место формула Сегё

где старший коэффициент многочлена .

Если аналитическая в круге |z|<l функция f(z) имеет угловые граничные значения на окружности |z|=l, то при нек-рых дополнительных предположениях справедливо разложение

коэффициенты к-рого определяются по формуле

Ряды вида (1) являются непосредственным обобщением рядов Тейлора: при будет . При нек-рых условиях на функцию распределения ряд (1) в точках окружности |z|=1 сходится или расходится одновременно с рядом Тейлора этой же функции f(z), т. е. имеет место теорема о равносходимости этих двух рядов.

2) О. м. по контуру система многочленов {Pn(z)}, имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию

где Г спрямляемая жорданова (обычно замкнутая) кривая в комплексной плоскости, а весовая функция h(z).интегрируема но Лебегу и почти всюду положительна на Г.

Пусть в конечной односвязной области С, ограниченной кривой Г, задана аналитич. ция f(z), граничные значения к-рой на контуре Г интегрируемы в квадрате с весом h(z). Тогда с помощью формулы для коэффициентов

этой функции ставится в соответствие ряд Фурье по ортогональным многочленам:

Эти ряды являются естественным обобщением рядов Тейлора но свойству ортогональности на случай одно-связной области и служат для представления аналитич. ций. Если выполняется условие полноты

где нижняя грань берется по множеству всех многочленов Qn(z), то ряд (2) сходится к функции f(z) в среднем но контуру Г с весом h(z), а при нек-рых дополнительных условиях и равномерно внутри области G.

3) О. м. по площади система многочленов , имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию

где весовая функция h(z).неотрицательна, интегрируема по площади конечной области Си неэквивалентна нулю. Если имеет место условие полноты

где нижняя грань берется по множеству всех многочленов Qn(z),

то ряд Фурье по многочленам Функции f(z), аналитической в односвязноп области Gсходится к этой функции в среднем по площади области Gс весом h(z), а при нек-рых дополнительных условиях и равномерно внутри области G.

Лит.:[1] Szego G., "Math. Z.", 1920, Bd 6. S. 167-202; 1921, Bd 9, S. 167-90, 218-70; [2] Сar1eman Т., "Ark. for mat., astr. ochfys.", 1922-23, Bd 17, К9, S. 1-30; [3] Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [4] Геронимус Я. Л., Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке, М., 1958; [5] Смирнов В. И., "Журнал Ленинградского физико-матем. об-ва", 1928, т. 2, в. 1, с. 155-79; [6] Коровкин П. П., "Матем. сб.", 1941, т. 3, № 3, с. 469485; [7] Суетин П. К., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 2, с. 41-88; [8] его же, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1971, т. 100, с. 1-96. П. К. Суетин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985