Математическая энциклопедия - ортогональной прогонки метод

вариант метода прогонки, основанный на ортогональном преобразовании неизвестных. Пусть при рассматривается граничная задача для пары линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

с условиями вида

Пусть данные функции, ai (х), bi(x), fi(x), i = 1,2, непрерывны на отрезке . Решение граничной задачи (1)-(4) О. п. м. осуществляется следующим путем.

I. Решается вспомогательная задача Коши

где

(прямой ход прогонки).

II. Проверяется условие , и если оно выполняется, то в направлении от точки x=b к точке х=а решается задача Коши

где

(обратный ход прогонки).

III. Искомые функции вычисляются по формулам

Если решение у(х), z (х).граничной задачи (1)-(4) существует, единственно и устойчиво относительно малых изменений коэффициентов и свободных членов, определяющих ее, то и рассмотренный метод также устойчив (см. [2]).

Система линейных алгебраических уравнений

где , решается по следующим правилам.

1) Используя формулы

последовательно вычисляют sk+1, ck+1, uk+1 при k=0,...,n-1 (прямой ход прогонки).

2) Проверяется условие , и если оно выполняется, то вычисляют

и

при k=п-1, n-2, ..., 1 (обратный ход прогонки).

3) Значения искомого решения системы уравнении (10)-(13) вычисляются по формулам

Если решение системы уравнений (10)-(13) существует, единственно и устойчиво относительно малых изменений коэффициентов и свободных членов, то и рассмотренный О. п. м. также устойчив (см. [2]).

Иногда ортогональной прогонкой наз. методы, основанные на использовании фундаментальной системы решений однородной системы уравнений для целей переноса граничных условий (см. [1], [3]). Однако эти методы являются скорее вариантами пристрелки метода.

Лит.:[11 Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., т. 1, М., 1975; [2] Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И., Вычислительные методы высшей математики, т. 2, Минск, 1975; [3] Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978.

А. Ф. Шапкин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985