Математическая энциклопедия - последовательных приближений метод

метод повторных подстановок, метод простой итерации,один из общих методов приближенного решения операторных уравнений. Во многих случаях хорошая сходимость построенных этим методом приближений позволяет применять его в практике вычислений.

Пусть Е - нек-рое множество, на к-ром задан оператор А, отображающий Ев себя. Требуется найти неподвижную точку этого отображения, т. е. решение уравнения

(1)

Пусть уравнение (1) имеет решение и каким-либо способом указано его начальное приближение . Все остальные приближения в П. п. м. строятся но формуле

(2) Этот процесс наз. простой одношаговой итерацией.

Для исследования сходимости последовательности (2), а также для доказательства существования решения уравнения (1) широко применяется ниже сформулированный принц и ц сжимающих отображений.

Пусть Еполное метрич. пространство с метрикой r; оператор Аопределен в замкнутом шаре Sрадиуса d с центром в х 0:

для всяких элементов хи уиз шара Sверно соотношение

для начального приближения х 0 выполнено неравенство , для чисел a, d, тсоблюдается условие

Тогда: 1) последовательные приближения х n, вычисляемые по правилу (2), могут быть найдены при всяком значении п, и все они принадлежат шару S;2) последовательность х п сходится к нек-рой точке ; 3) предельный элемент х * есть решение уравнения (1); 4) для приближения х n верна следующая оценка близости к решению х *:

Далее, во всяком подмножестве пространства Е, где для двух любых точек х, у верно неравенство r( Ах, Ау)<r( х, у), уравнение (1) не может иметь более одного решения.

Пусть E=Rⁿ - арифметическое re-мерное пространство и оператор Ав (1) имеет вид Ах=Вх+b, где В= = ||aik||квадратная матрица га-ro порядка, b=(b1,. . ., b п).заданный, а х=(x1, ..., х п) искомый векторы в . Если в этом пространстве метрика определена формулой и элементы матрицы Вудовлетворяют условию

для всех i, i=1,. . ., n, то из принципа сжимающих отображений следует, что система алгебраич. уравнений х=Ах имеет единственное решение в Rⁿ, к-рое можно получить П. п. м., исходя из произвольного начального приближения

Если в действует евклидова метрика

тогда получается другое условие сходимости последовательных приближений:

Пусть (1) интегральное уравнение, в к-ром

где известные функции f, Кинтегрируемы с квадратом соответственно на множествах , К - числовой параметр. Тогда из принципа сжимающих отображений следует, что если

то рассматриваемое интегральное уравнение имеет единственное решение в пространстве L2([a, b]), к-рое можно построить П. п. м.

Лит.:[1] Фаддеев Д. К., Фаддеева В.