Математическая энциклопедия - примитивное кольцо

правое ассоциативное кольцо, обладающее правым точным неприводимым модулем. Аналогично (с помощью левого неприводимого модуля) определяется левое примитивное кольцо. Классы правых и левых П. к. не совпадают. Всякое коммутативное П. к. является полем. Всякое полупростое (в смысле Джекобсона радикала).кольцо является подпрямым произведением П. к. Простое кольцо либо является П. к., либо радикально. П. к. с ненулевыми минимальными правыми идеалами описываются теоремой плотности. П. к. с условием минимальности для правых идеалов (т. е. артиновы П. к.) являются простыми.

Кольцо Rпримитивно тогда и только тогда, когда оно обладает максимальным модулярным правым идеалом I, к-рый не содержит двусторонних идеалов кольца R, отличных от нулевого идеала. Это свойство может быть принято за определение П. к. в классе неассоциативных колец.

Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972. К. А. Жевлаков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985