Математическая энциклопедия - приводимое риманово пространство

риманово пространство М, у к-рого линейная (или, иначе, однородная) голономии группа приводима, т. е. имеет нетривиальные инвариантные подпространства. Риманово пространство с неприводимой группой голономии наз. неприводимым. Полное односвязное П. р. п. разложимо (теорема де Рама), т. е. разлагается в прямое произведение римановых пространств положительной размерноети. Более точно, любое полное односвязное риманово пространство изометрично прямому произведению евклидова пространства M0 и полных односвязных неприводимых римановых пространств Mi, i>0, причем такое разложение Мединственно с точностью до порядка сомножителей.

Ослабленный вариант этой теоремы справедлив для псевдоримановых пространств: псевдориманово пространство наз. слабо неприводимым, если все нетривиальные инвариантные относительно группы голономии Г подпространства касательного пространства изотропны, т. е. индуцированное на них скалярное произведение вырождено. Любое полное односвязное псевдориманово пространство разлагается в прямое произведение слабо неприводимых псевдоримановых пространств. Если подпространство неподвижных относительно группы голономии векторов неизотропно, то такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Слабо неприводимое псевдориманово пространство не разлагается в прямое произведение псевдоримановых пространств [3].

Лит.:[1] Лихнерович А., Теория связностей в целом и групп голономии, пер. с франц., М., 1960; [2] Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1981; [3] W u H., "Illinois J. Math.", 1964, v. 8, №2, p. 291-311; [4] Шапиро Я. Л., "Докл. АН СССР", 1972, т. 206, №' 4, с. 831-33. Д. В. Алексеевский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985