Математическая энциклопедия - приближения функций мера

количественное выражение погрешности приближения. Когда речь идет о приближении функции f(t) функцией j(t), мера приближения m(f, j) обычно определяется метрикой нек-рого функционального пространства, содержащего как f(t), так и j(t). Напр., если функции f(t).и j(t) непрерывны на отрезке [ а, b], часто пользуются равномерной метрикой пространства С[ а, b], т. е. полагают

Если же непрерывность приближаемой функции не гарантирована или по условию задачи важна близость между f(t).и j(t) лишь в среднем на [ а, b], можно использовать интегральные метрики пространств Lp[a, b], полагая

где q(t) - нек-рая весовая функция. Здесь наиболее употребительным и удобным с практич. точки зрения является случай р=2 (см. Среднеквадратическое приближение функций).

П. ф. м. может учитывать значения функций f(t) и j(t) лишь в отдельных точках tk, k=l, ... , n, промежутка [a, b], напр.:

где qkнек-рые положительные коэффициенты.

Аналогично определяется мера приближения функций двух и большего числа переменных.

Мера приближения функции f(t) семейством функций Fобычно определяется как наилучшее приближение:

Под мерой приближения класса функций f(t).функциями j(t) из фиксированного множества Fпонимают величину

к-рая характеризует максимальное отклонение функций множества от ближайших к ним функций из F.

В общем случае, когда рассматривается приближение в произвольном метрич. пространстве X, мера приближения m ( х, и).элемента хэлементом и(множеством F).есть расстояние r( х, и)(r( х, F)).между хи и(хи F).в смысле метрики пространства X.

Лит.:[l] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [2] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977.

Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985