Математическая энциклопедия - примитивная группа подстановок

группа подстановок (G; M), сохраняющая лишь тривиальные отношения эквивалентности на множестве М(т. е. равенство и аморфную эквивалентность). Изучаются главным образом конечные П. г. п.

П. г. п. транзитивна и всякая 2-транзитивная группа примитивна (см. Транзитивная группа). В точности 1-транзитивные (т. е. не являющиеся уже 2-транзитивными) группы подстановок наз. унипримитивными. Коммутативными П. г. п. являются циклич. группы простого порядка и только они. Транзитивная группа подстановок примитивна тогда и только тогда, когда стабилизатор Ga каждой точки есть максимальная подгруппа в группе G. Другой признак примитивности основан на сопоставлении каждой транзитивной группе (G; M).ее графов, соответствующих бинарным орбитам этой группы. Группа (G; M).примитивна тогда и только тогда, когда графы, соответствующие нерефлексивным 2-орбитам, связны. Число 2-орбит наз. рангом группы (G; М). Ранг равен 2 для дважды транзитивных групп, а ранг унипримитивной группы не меньше 3.

Всякий неединичный нормальный делитель И. г. н. транзитивен. Всякая транзитивная группа подстановок погружается в кратное сплетение П. г. п. (правда, такое представление не однозначно).

Многие вопросы теории групп подстановок сводятся к обозрению П. г. п. Известен список всех П. г. п. степени 50 (см. [4]). Изучаются связи между П. г. п. и простыми конечными группами.

Обобщение понятия П. г. п.кратно примитивные группы. Группа подстановок (G; M).наз. kраз примитивной, если она kраз транзитивна и фиксатор (k-1)-й точки действует примитивно на остальных точках.

Лит.:[1] Сamеrоn P., "Bull. London Math. Soc.", 1981, v. 13, p. 1-22; [2] Krasner M., Kaloujnine L., "Acta Scient. math. (Szeged)", 1951, v. 14, p. 39-66; [3] Wie1andt H., Finite permutation groups, N.Y.-L., 1964; [4] Погорелов Б. А., в кн.: VI Всесоюзный симпозиум по теории групп. Сборник, К., 1980, с. 146-57; 15] Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, 2 изд., М.Л., 1933.

Л. А. Калужнин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985