Математическая энциклопедия - притяжения область

устойчивого распределения совокупность всех функций распределения Р(х).таких, что для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин X1, X2,... с функцией распределения F(х). при подходящем подборе постоянных А п и В n>0, n=1, 2, . . ., распределения случайных величин

(*)

слабо сходятся при к невырожденной функции распределения V(x), к-рая с необходимостью оказывается устойчивой.

Одной из основных задач теории устойчивых законов является описание П. о. устойчивых законов. Так, для нормального распределения в 1935 А. Я. Хинчиным, В. Феллером (W. Feller) и П. Леви (P. Levy) было установлено, что F(х).принадлежит П. о. нормального закона тогда и только тогда, когда при

Позже Б. В. Гнеденко (1939) и В. Дёблин (W. Doeblin, 1940) дали описание П. о. устойчивого закона с показателем a, 0<a<2: для принадлежности F(х).П. о. невырожденного устойчивого закона V(х).с показателем а необходимо и достаточно, чтобы

при

для нек-рых , определяемых по V(x), и

при

при каждом постоянном t>0. Ограничение на характер поведения нормирующих коэффициентов В п, п=1,2, . . ., приводит к уменьшению совокупности функций распределения, для к-рых имеет место сходимость по распределению для последовательности (*). Совокупность функций распределения F(x), для к-рых функции распределения последовательности случайных величин (*) при подходящем выборе последовательности А п, п=1,2, . . ., постоянной с>0 и В n=cn^-1/a, п=1,2, . . ., слабо сходятся к устойчивой функции распределения V(х).с показателем a, наз. областью нормального притяжения V(x). Нормальная П. о. нормального распределения совпадает с совокупностью невырожденных распределений с конечной дисперсией.

Нормальная П. о. невырожденной устойчивой функции распределения V(х).с показателем a (0<a<2) образована функциями F(x).такими, что существуют и конечны

где с 1 и с 2 определяются устойчивым законом V(х).

Лит.:[1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949; [2] Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; [3] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972. Б. А. Рогозин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985