Математическая энциклопедия - привалова теорема

1) П. т. о сопряженных функциях: пусть

периодическая непрерывная функция с периодом 2p и

тригонометрически сопряженная функция с f(t); тогда если f(t).удовлетворяет условию Липшица о показателем при 0<a<1 и имеет модуль непрерывности, не больший Мd In (1/d) при a=1. Эта теорема, доказанная И. И. Приваловым [1], имеет важные применения в теории тригонометрич. рядов. Она переносится и на условия Липшица в нек-рых других метриках (см., напр., [5]).

2) П. т. единственности аналитических функций: если однозначная аналитич. ция f(z) в области Dплоскости комплексного переменного z, ограниченной спрямляемой жордановой кривой Г, на нек-ром множестве положительной меры Лебега на Г имеет нулевые угловые граничные значения, то в D. Эта теорема доказана И. И. Приваловым [2); ее обобщением является Лузина Привалова теорема;см. также Единственности свойство аналитических функций.

3) П. т. о сингулярном интеграле Кош и, основная лемма Привалова,один из основных результатов теории интеграла типа Ноши Стилтьеса (см. Коши интеграл). Пусть Г : z== z(s), ,-спрямляемая (замкнутая) жорданова кривая на плоскости комплексного переменного z, l - длина кривой Г, s - длина дуги на Г, отсчитываемая от нек-рой фиксированной точки; j=j(s) угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к Г, y(s) комплексная функция ограниченной вариации на Г. Пусть точка определяется значением s0 длины дуги, и Г d часть линии Г, оставшаяся после удаления из Г меньшей дуги, концами к-рой являются точки z(s0-d) и z(s0+d). Конечный предел при

(1)

если он существует, наз. сингулярным интегралом Коши Стилтьеса.

Пусть D⁺ и D^- - соответственно конечная и бесконечная области, ограничиваемые кривой Г. Формулировка П. т.: если для почти всех по мере Лебега на Г точек Г существует сингулярный интеграл (1), то почти всюду на Г существуют угловые граничные значения F⁺(z). интеграла типа Коши Стилтьеса

(2)

соответственно из областей D⁺, причем почти всюду справедливы Сохоцкого формулы:

(3)

Обратно, если почти всюду на Г существуют угловые граничные значения F⁺(z0).(или F^-(z0)).интеграла (2), то почти всюду на Г существуют сингулярный интеграл (1) и граничные значения с другой стороны F^-(z0) (соответственно F⁺(z0)), причем выполняются равенства (3). Эта теорема была установлена И. И. Приваловым для интегралов типа Коши Лебега (т. е. для случая абсолютно непрерывной функции y(s), см. [2]), а затем и для общего случая [3]. Она играет основную роль в теории сингулярных интегральных уравнений и разрывных граничных задач аналитич. ций (см. [6]). 4) П. т. о граничных значениях интеграла типа Коши Лебега: если жорданова кривая Г кусочно гладкая и без точек заострения, а комплексная функция , удовлетворяет условию Липшица

то интеграл типа Коши Лебега

есть непрерывная функция в замкнутой области , причем для граничных значений F⁺(z) выполняются условия:

если 0<a<1, и

если (см. [2]).

Лит.:[1] Привалов И. И., "Bull. Soc. math. France", 1916, t. 44, p. 100-03; [2] его же, Интеграл Cauchy, Саратов, 1918; [3] его же, Граничные свойства однозначных аналитических функций, М., 1941; [4] его же, Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.Л., 1950; [5] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., М., 1965; [6] Xведелидзе Б. В., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 7, М., 1975, с. 5-162.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985